Аксіома неперервності в теорії очікуваної корисності

Візьміть таке визначення наступності.

Відношення переваг над простором лотереї є безперервним, якщо для будь-яких множини S_1 = \ {\ alpha \ в [0,1]: \ alpha L + (1 \ альфа) L '\ succsim L' '\} і S_2 = \ {\ альфа \ в [0,1]: L' '\ succsim \ альфа - L + (1 \ альфа) L' \} є обидва закриті.$\succsim$$\mathcal L$$L,L',L''\in\mathcal L$

$$S_1=\{\alpha\in[0,1]:\alpha L+(1-\alpha)L'\succsim L''\}$$ $$S_2=\{\alpha\in[0,1]:L''\succsim \alpha L+(1-\alpha)L'\}$$

Чи обов'язково правда, що $S_1\cup S_2=[0,1]$ ? Якщо так, то чому?

Це є.
До наступності, яка є властивістю відношення уподобань, саме відношення переваги було визначене як бінарне відношення, яке характеризується транзитивністю та, для початку, повнотою . Тоді, якщо , це означає, що існують деякі значення десь у , називаємо їх для яких $\succsim$
$S_1\cup S_2 \neq [0,1]$$\alpha$$[0,1]$$\tilde \alpha$

ні

$$\{\tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\succsim L''\}$$

ні

$$\{L''\succsim \tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\}$$

Словом, для цих 's пар не може бути впорядкований взагалі . Але це суперечить фундаментальній повноті, яка потрібна навіть для отримання відношення переваги (як, звичайно, використовується в нашій теорії. Психологи, мабуть, не погоджуються).$\tilde \alpha$

Також зауважте, що повнота визначається над усіма можливими парами, навіть якщо ми в конкретній ситуації вирішили обмежити простір лотерей чимось меншим. Чи належить розглянутим лотереям вказаний простір лотереї, насправді не має значення. Людина, яка має переваги, повинна мати можливість замовити їх у будь-якому випадку, навіть як "гіпотетичний" сценарій (хоча строго кажучи, для конкретної проблеми ми маємо "розкіш" нав'язувати повноту лише щодо наявних лотерей, тоді як " залишається агностиком "щодо повноти, якщо ми розширимо простір лотереї. Все ж це" ослаблення "нав'язування аксіоми повноти справді не приносить користі.