Чи обов'язково раціональні одноманітні та постійні уподобання?

Нехай є суворо монотонним і безперервним відношенням переваг, і нехай X = \ mathbb {R} ^ {n} є набором споживання.X = R $\succsim$$X=\mathbb{R}^{n}$

Чи $\succsim$ увазі ці умови раціональність \ succsim ?

Я думаю, що транзитивність має на увазі наступність. Однак повнота викликає занепокоєння, оскільки є елементи $x,y \in X$ які не можна впорядкувати відносно $\leq$ або $\geq$ , і тому ми не можемо використовувати монотонність, щоб показати, що $\succsim$ є повним.

Я думав побудувати послідовність $x_{n}$ з $x_{1}=x$ такою, що $x_{n} \to y$ і $x_{n}\succsim x_{n+1}$ або $x_{n+1} \succsim x_{n}$ . Тоді за допомогою транзитивності та безперервності ми могли б показати, що $x$ і $y$ можна впорядкувати відносно $\succsim$ , але я не думаю, що можна побудувати таку послідовність.

Будь-яка допомога буде вдячна, але, будь ласка, дайте підказки, а не повноцінні рішення.

Розглянемо відношення переваг у таким, що і . x=( x 1 , x 2 )≿( y 1 , y 2 )=$\mathbb{R}^2$$x=(x_1,x_2)\succsim (y_1,y_2)=y$ $\iff$ x 2 ≥ y $x_1\geq y_1$$x_2\geq y_2$

1) Ви можете хотіти сперечатися, чи є це відношення переваги строго монотонним та безперервним.

2) Чи визначене вище відношення?

Тоді, як гарнір, ви також можете переглянути своє твердження, що наступність є причиною транзитивності.

Примітка. Я щойно написав цей конкретний з метою продуманого експерименту. Більше, щоб кинути виклик вашому розумінню. Я не впевнений, надає цей приклад відповідь на ваше запитання чи ні.

Питання полягає в тому, чи мається на увазі раціональність безперервність і монотонність. Щоб показати, що це не так, достатньо було б контрприкладу. Тому ми шукаємо неперехідне, неповне, монотонне, безперервне відношення переваг.

Припустимо, . Таким чином, ми формуємо переваги над точками прямої від до . Розглянемо відношення переваг, визначене яке інакше є неповним.( 0 , 1 ) ( 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) ≻ ( .5 , .5 ) ≻ ( 0 , 1 ) ≻ ( 1 , 0 $X=\{x\geq 0,y\geq 0:x+y=1\}$$(0,1)$$(1,0)$$(1,0) \succ (.5,.5) \succ (0,1) \succ (1,0)$

Раціональність

Раціональність полягає у повноті та транзитивності відношення переваг, визначених таким чином:

Повнота

Відношення переваг є повним, якщо для всіх ми маємо , або те і інше.x ≿ y y ≿ $x,y \in X$$x\succsim y$$y\succsim x$

$(.5,.5)\not \succsim (.5,.5)$ , тому відношення переваг не є повним.

Транзитивність

Відношення переваг є транзитивним, якщо і означають .y ≿ z x ≿ $x\succsim y$$y \succsim z$$x\succsim z$

( .5 , .5 ) ≿ ( 0 , 1 ) ( 1 , 0 ) ≿ ̸ ( 0 , 1 $(1,0)\succsim (.5,.5)$ і але , таким чином відношення переваги не є перехідним.$(.5,.5) \succsim (0,1)$$(1,0)\not \succsim (0,1)$

Неперервність

Відношення переваг є безперервним, якщо для всіх послідовностей , що сходяться до(х,у)з∀я:хя≿уями маємох≿у.${(x_i,y_i)}_{i=1}^{\infty}$$(x,y)$$\forall i: x_i \succsim y_i$$x \succsim y$

Відношення переваг не порушує наступності. Розглянемо послідовність яка сходиться до x , y . Ці послідовності можуть бути лише такими, що x i = x і y i = y , і x ≠ y , оскільки всі інші x i , y i або не сходяться до x , y , або не виконують x i ≿ y i . Але чітко, якщо x i ≿ $x_i \succsim y_i$$x,y$$x_i=x$$y_i=y$$x\neq y$$x_i,y_i$$x,y$$x_i \succsim y_i$ тоді x ≿ y .$x_i\succsim y_i$$x\succsim y$

Монотонність

Відношення переваг є монотонним, якщо означає x ≿ y .$x \geq y$$x \succsim y$

Співвідношення вважає всі елементи X незрівнянними, тому відношення переваги є монотонним.$\geq$$X$

Таким чином, ми маємо неперехідне, неповне, монотонне, безперервне відношення переваги.

Транзитивності переваг звертаються до якого - то «інтуїтивного» поняттю «послідовність людського розуму» , і можна стверджувати , що будь-які винятками є «винятками з правила », і тому ми робимо мати адекватне абстрактне правило.

Для порівняння, повнота - це набагато більше "стрибок віри". Він висить у повітрі, випливає з нічого, пов'язаного ні з чим ( тому відповідь на ваше запитання - ні ). Можливо , це може бути підтримано деякими вульгарним зауваженням , що «якщо ви натиснете на людину досить, то він буде в кінцевому підсумку замовити будь-яку пару ви будете ставити перед собою, навіть якщо тільки , щоб позбутися від вас», але це , звичайно, при пошуку добре на практиці, ніколи не буде працювати в теорії.

Отже, ми просто визначаємо повноту існування ... чому? Щоб уникнути досить некерованих проблем у дорозі. Наскільки корисно буде працювати з неповними уподобаннями? Наскільки корисно було б сказати: "У мене є ця модель, це може призвести, а може, і не, залежно від того, повноти вподобань чи ні" ... в чому її користь? Потім ми змушені придумати альтернативне вирішальне правило: «Якщо припустити , що переваги не є повними, то , якщо людина стикається з парою , що він не може наказати ...» -Він робить що ? Перевернути монету? Але це зробило б "незавершеність" еквівалентною байдужості ...

Що ще? Цей напрямок думки може бути дуже стимулюючим, але він також є дуже складним, і, звичайно, проривним шляхом, якщо дійсно такий шлях існує або його можна створити. (На мою думку, різні теоретичні дослідження сорту "нечіткий" намагаються знайти "середній шлях" для саме цієї проблеми - де вони розглядають ситуацію, коли людина не має повних уподобань, а також не повністю "замерзла", коли "важко" "пара приходить).