Інтуїтивне пояснення

Чи може хтось надати інтуїтивне пояснення, чому право матриці Слуцького, помножене на вектор ціни, дає нульову матрицю?

Я знаю, що це правда, але я не дуже розумію, чому це правда. Хтось може тут допомогти?

Це загальна математична властивість другої похідної / гессіанської матриці багатофакторних функцій, однорідних першого ступеня.

Витратна функція є однорідною за ступенем перша. Чому? Якщо всі ціни змінюються в однаковій пропорції (саме так ми перевіряємо математичну властивість однорідності), відносні ціни не змінюються. Якщо відносні ціни не змінюються, кількісний склад мінімальної вартості компенсується пачка споживання для досягнення заданої корисності не змінюється взагалі . Потім, оскільки всі ціни зросли на однакову пропорцію, частки бюджету залишаються однаковими, а Витрати, необхідні для досягнення тієї ж корисності, зростають на тій же пропорції: однорідність першого ступеня.$E$

За подвійності, то Хікса вектор попит градієнт функції витрат, .$H = \nabla_p E$

Гіксіанський вектор попиту дає нам необхідні мінімальні витрати. Внаслідок однорідності ступеня однієї з функцій витрат, внутрішній добуток гіксовського вектору попиту в рази векторного ціна дорівнює функції витрат. Це також повинно бути інтуїтивно зрозумілим: ми просто множимо кожну кількість, яку вимагає одинична ціна, яку за неї потрібно сплатити, і підсумовуючи ці продукти, ми отримуємо загальні Витрати, які ми маємо понести, щоб придбати пакет мінімальної вартості для даної корисності.

Отже маємо (спрощення позначення диференціації) а також $E = H\cdot p$. Тому також$\frac {\partial}{\partial p}E = H$

$$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$$

і так має бути

$$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$$

Отже, вектор попиту Хіксія є однорідним за нульовим ступенем (математично, це є наслідком теореми Ейлера про однорідні функції, тобто, якщо функція однорідна зі ступенем однорідності , її градієнт має ступінь однорідності k - 1 ).$k$$k-1$

Але перші похідна (якобіан) від Хікса попиту (який є гесенської-матрицею других похідних функції витрат) є матрицею Слуцького, $\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$$S(w,p) \cdot p = 0$

Таким чином, результат випливає з однорідності ступеня однієї з функцій витрат. Чи існує інтуїтивне пояснення, аналогічно інтуїції, що стоїть за однорідністю ступеня однієї з функцій витрат? Ну, перший походить безпосередньо від другого, тому важко придумати "окремий" інтуїтивний аргумент. Можна неофіційно сказати, що вимагаються компенсовані кількості "не залежать" від (не впливає) коливання цін, коли відносні ціни залишаються колишніми. Тоді в геометричному відношенні це означає, що вектори швидкостей зміни компенсованих величин, що вимагаються (що містить кожен ряд матриці Слуцького), є ортогональними до цінового вектора.

Я не знаю, чи будете ви розцінювати це як пояснення, а точніше, як доказ.

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$p^\ast$$\delta$

$$f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast}$$

$h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

$$h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast}$$

$\mathbf{p^\ast}$$\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$${p_j^\ast}$$\Delta \times {p_j^\ast}$$h_i$$\delta$$\Delta \mathbf{p^\ast}$$S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

По-іншому, оскільки попит гіксьян на будь-який товар не реагує на зміну цін, що підтримує однакові відносні ціни, то якщо ми подивимось на загальний вплив окремих цін цих цін на товар, ми повинні спостерігати 0 зміна.

$x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$$D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$$p'x(p,w)=w$$x(p,w)'p=w$$S(p,w)p=0$