Наявність рішення проблеми максимізації

Я студентка першого курсу і зараз ми дізнаємось про проблему максимізації корисності та проблему виробника. Ми припускаємо, що для цих проблем існує рішення. Але раз у раз виникає проблема вправ, яка просить нас показати, що рішення існує. Я колись стикався з тим, що "Проблема максимізації на компактному наборі має рішення". Цікаво, чи є якісь хороші посилання на це? Ми використовуємо мікроекономічну теорію MGW як наш підручник; Я думав, що можу щось знайти в додатку, але не зміг.

microeconomics

— Кеннет Чен
джерело

Якщо набір обмежений, повинно бути рішення. Мені подобається думати про проблеми максимізації, як топографія. Ви шукаєте найвищу точку. Якщо у вас є ділянка, десь має бути найвища точка в цій області.

— Джамзі

Математичний додаток MWG MJ та MK містить огляд основних теорем, які знадобляться для максимізації. Щодо цитованого вами твердження, це просто теорема MF2 (ii). Тож у MWG є досить хороший довідник. Іншим, можливо, трохи доступнішим джерелом посилання були б Джелі та Рені (2011).

— Гер К. К.

@Jamzy Так, ти маєш рацію з цим!

— Кеннет Чен

Відповіді:

Найімовірніше, що вислів у формі "Проблема максимізації корисності на компактному наборі має рішення, коли функція корисності триває безперервно." В одновимірному випадку це прямий слід із теореми про граничне значення. Посилання на цю теорему можна знайти на веб- сайті https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem

u (x) = {\begin{cases} x if x \in [0, \frac{1}{2}), \\ \frac{1}{4} if x \in [\frac{1}{2}, 1] . \end{cases}

$u(x) = \begin{cases} x \mbox{ if $x\in[0,\frac{1}{2})$,} \\ \frac{1}{4} \mbox{ if $x \in [\frac{1}{2},1].$ } \end{cases}$

x \in [0, 1]

$x\in [0,1]$

Книга, якою я раніше користувався, є тут, яка розглядає проблеми оптимізації такого роду економіста, з якими стикається суворо. Також ця книга пропонує більш інтуїтивний спосіб встановлення основних результатів, що було б кращим початком.

— рамазан
джерело

x

$x$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

x \in [0, \frac{1}{2}]

$x\in[0,\frac{1}{2}]$

x \in [0, 1)

$x\in [0,1)$

u (1) = 0

$u(1)=0$

x

$x$

x^{'}

$x'$

u (x) < u (x^{'})

$u(x)<u(x')$

Для цього використовується теорема Вейерштрасса :

$\mathbb{R}$

Так, наприклад:

$B(p,w)$

Загалом, оптимізація на компактному наборі матиме рішення, якщо у вас є безперервна цільова функція.

— 123
джерело

123, коли ти кажеш Хайн-Борелем, бюджетний набір є компактним, яка лінія міркувань? Це, ймовірно, займає простір для всієї речі, яка повинна бути викрита, але короткий контур доказування буде дуже вдячний !!

— Френк Суонтон

Розглядаючи топологію метричних просторів, теорема Гейне-Бореля говорить нам, що підмножина S деякого n-мірного евклідового простору є компактною, якщо вона замкнута і обмежена. Отже, оскільки бюджетний набір закритий і обмежений, ми знаємо, що він компактний. Тоді будь-яка безперервна функція над цим набором бюджету (тобто будь-яка функція безперервної корисності) повинна досягати максимуму або мінімуму за цей діапазон.

— 123

123, дякую за коментар. Я повинен би дозволити цьому посидіти і повернутися до книги аналізу, щоб повністю засвоїти те, що ви сказали. Дякую за коментар!

— Френк Суонтон

Не хвилюйтесь. Також - я повинен виправити свій коментар, щоб сказати "максимум і мінімум". Вибачте - помилка друку.

— 123