Функція виробництва CES з

Використовуючи виробничі функції CES форми , ми завжди вважаємо, що . Чому ми робимо це припущення? Я розумію, що якщо , виробнича функція більше не буде увігнутою (а значить, виробничий набір не буде опуклим), але що це означає про функції прибутку та витрат? $f(x_1,x_2)=(x_1^\rho+x_2^\rho)^{1/\rho}$ $\rho\leq1$ $\rho>1$

— Шер Афган
джерело

ρ

$\rho$ над одним призведе до кутового рішення, коли вибирається лише один вхід із додатною величиною. Оскільки суть багатофункціональних виробничих функцій зазвичай полягає у моделюванні обставин, коли фактично використовуються два входи, це є небажаною ознакою.

— BKay

Чи буде вирішення проблеми з максимальною прибутком?

— Шер Афган

@SherAfghan, лінійна функція з схоже, не в сімействі CES, оскільки її еластичність заміщення не є постійною.

ρ = 1

$\rho = 1$

— гарей

Відповіді:

Проблема полягає в тому, що це означає, що граничний добуток факторів не зменшується ( ) або постійний ( ), а збільшується, що є дивним припущенням. Такі функції дають ізокванти, які є увігнутими і можуть призвести до використання лише одного фактора (як сказав Б.К.). $\rho>1$ $\rho<1$ $\rho=1$

Як і в будь-якому загальному CES, граничним добутком фактора є $x_i$

M P_{i} = {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ}

$MP_i = \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}$

Похідна цього MP щодо , після деякої перестановки, $x_i$

(ρ - 1) {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ} (\frac{x_{- i}}{x_{i} y^{ρ}})

$(\rho-1) \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}\left(\frac{x_{-i}}{x_iy^{\rho}}\right)$

Для це вираження є позитивним, це означає, що продуктивність фактора збільшується в міру використання більшої частини цього коефіцієнта. $\rho>1$

Щодо ізоквантів, їх можна знайти, переписавши виробничу функцію як . У загальній CES це так $x_2=g(y,x_1)$

x_{2} = {(y^{ρ} - x_{1}^{ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

$x_2 = \left(y^{\rho} - x_1^{\rho}\right)^\frac{1}{\rho}$

Вони є лінійними у випадку , опуклими у випадку Кобб-Дугласа (де функція вище , гіпербола), і увігнуті у випадку . Наприклад, виберіть і у вас є: $\rho=1$ $x_2=\frac{y}{x_1}$ $\rho>1$ $\rho=2$

x_{2}^{2} = y^{2} - x_{1}^{2}

$x_2^2 = y^2 - x_1^2$

яка є формулою кола, зосередженого на , з радіусом . Зазвичай для теорії виробництва цікавий лише , який дає вам увігнуті ізокванти для різних рівнів . На малюнку нижче показаний приклад: для даного співвідношення цін факторів існує кутове рішення (точка А): $(0,0)$ $y$ $x_i \geq 0$ $y$

$\hskip3cm$

(Код для відтворення малюнка тут )

— лухоначо
джерело

Ось моя спроба в цьому питанні, воно неповне та / або неправильне, тому, будь ласка, допоможіть зробити пропозиції, і я відредагую це.

Мінімізація витрат

Оскільки не є квазі увігнутим, відповідні ізоквантні криві не будуть ковексними до початку (тобто їхній верхній контурний набір не буде опуклим). У цьому випадку фірма повинна використовувати кутове рішення, і вимоги умовного фактора будуть задані як; Ці вимоги умовного коефіцієнта дають функцію витрат; Максимізація прибутку $f(x_1,x_2)$

x_{1} (p, y) = q^{2} a n d x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} < w_{2}

$x_1(p,y)=q^2 \quad and \quad x_2(p,y)=0 \quad\quad if\quad w_1< w_2$

x_{1} (p, y) = 0 a n d x_{2} (p, y) = q^{2} i f w_{1} > w_{2}

$x_1(p,y)=0 \quad and \quad x_2(p,y)=q^2 \quad\quad if\quad w_1>w_2$

x_{1} (p, y) = 0, x_{2} (p, y) = q^{2} o r x_{1} (p, y) = q^{2}, x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} = w_{2}

$x_1(p,y)=0 , x_2(p,y)=q^2 \quad or \quad x_1(p,y)=q^2 , x_2(p,y)=0 \quad if\quad w_1=w_2$

C (w, y) = m i n [w_{1} q^{2}, w_{2} q^{2}]

$C(w,y)=min[w_1q^2,w_2q^2]$

Я тут справді розгублений. Навіть незважаючи на те, що виробнича функція випукла, але вона все ще демонструє не збільшується віддачу до масштабу. . Тобто рішення все одно буде існувати (правда?). То як впливає на непридатність функціонування виробництва максимальний прибуток? $f(tx_1,tx_2)<tf(x_1,x_2) \quad\forall \quad t>1$

— Шер Афган
джерело

Вашу плутанину легко з’ясувати: пам’ятайте, що опуклі налаштування не передбачають увігнутої функції утиліти. З них випливає лише те, що верхні контурні набори опуклі. Аналогічно для відповідної виробничої функції розглянемо . контролює, чи функція увігнута чи опукла, контролює, чи є контурні набори опуклими.

(x_{1}^{ρ} + x_{2}^{ρ})^{θ / ρ}

$(x_1^{\rho}+x_2^{\rho})^{\theta/\rho}$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

— HRSE

Я не розумію, увігнута функція означає, що верхній контурний набір опуклий. означає, що функція є увігнутою, і це означає, що вона квазі-увігнута, тобто верхні контурні набори до рівня задані опуклими. Наскільки я розумію у вашому прикладі виробляє монотонне перетворення вихідної функції, яка може бути, а може бути і не увігнутою. Як інакше, як це впливає на отримання прибутку, максимізуючи рішення?

ρ < 1

$\rho<1$

θ

$\theta$

— Шер Афган

Припустимо, . Вищеописаний агрегат наближає функцію max до потужності . Таким чином, верхні контурні набори не опуклі. Тепер для кожного ви можете знайти досить малу таку, що функція збільшує або зменшує повернення до масштабу. Таким чином, повернення до масштабу не пов'язане з опуклістю верхніх контурних наборів.

ρ \to \infty

$\rho\rightarrow \infty$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

θ

$\theta$

— ВРСЕ

Я бачу. Тож навіть якщо , ми можемо мати рішення для збільшення прибутку залежно від значення . Я правильно кажу, що у нас буде рішення (виробнича функція буде демонструвати зменшення прибутку до масштабу), якщо , з іншого боку, якщо , виробнича функція буде демонструвати збільшення прибутку до масштабу і буде не вирішити проблему максимуму прибутку?

ρ > 1

$\rho>1$

θ

$\theta$

θ \leq 1

$\theta \leq 1$

θ > 1

$\theta >1$

— Шер Афган

Чи додатково існує рішення проблеми максимізації прибутку, залежить від структури ринку. Проблема максимізації прибутку монополіста зазвичай все ще добре визначена, тоді як для фірм, що беруть ціни, це не буде.

— HRSE

Коротше кажучи, для не буде рішення для максимізації прибутку в короткостроковому періоді (принаймні один фактор встановлений) для конкурентного випадку (ціна - це виправлення). $\rho \geq 1$

Для того, щоб перейти від виробничої функції до функції витрат, нам потрібно ввести коефіцієнт цін ( і для прикладів підручників) і вирішити оптимізаційну задачу. З широкою експозицією можна ознайомитись тут . $r$ $w$

Для побудови інтуїції візьмемо і зафіксуємо один фактор. Щоб мати справу з прибутком , слід також ввести ціни на вироблені товари . Тож проблема може виглядати так ( ): $w=1$ $\pi(q)$ $p>0$ $\rho=2$

π (q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^{2} - 1)^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^2 - 1)^{1/2}$

Можна показати, що для функції прибутку такого роду SOC дорівнює: , що означає, що немає глобального максимуму (хоча мінімум існує). $\pi'' >0$

Щоб побачити той самий ефект у більш простому прикладі ( не похідному від CES), врахуйте це:

π (q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1/2}$

SOC - . $\pi'' = (1/2)q^{-3/2} > 0$

Зауважте але не, скажімо, як зазвичай. Порівняємо ці два випадки для на графіку, щоб оцінити різницю. $q^{1/2}$ $q^2$ $p=1.7$

— garej
джерело