Конкурентна рівновага в економіках Леонтьєфа

Розглянемо економіку, в якій усі споживачі мають, можливо, різні, комунальні послуги Leontief . Оскільки переваги не є строго опуклими, не гарантується наявність конкурентної рівноваги. Я знайшов деякі документи, в яких обговорюється обчислювальна проблема вирішення питання про те, чи є економіка Леонтія конкурентною рівновагою, але мене цікавлять загальні результати існування:

А. Які умови економіки Леонтія гарантують існування конкурентної рівноваги?

В. Зокрема, якщо початкові фонди рівні (кожен з агентів отримує частку кожного товару), чи гарантована існування конкурентної рівноваги? $m$ $1/m$

consumer-theory competitive-equilibrium

— Ерел Сегал-Халеві
джерело

@denesp чому ви видалили свою відповідь? Це майже переконало мене ...

— Ерел Сегал-Халеві

@denesp Ах, бачу! Це цікавий

— неприклад

Ви можете спробувати документи про існування рівноваги Неша в сукупних іграх або великих анонімних іграх. Економіка Валрасії - це така гра (вектор цін - сукупна дія), а рівновага Валрасії - рівновага Неша. Як правило, теореми існування вимагають компактних наборів дій і безперервних утиліт.

— Сандер Хайнсалу

Здавалося б, немає справжньої рівноваги. лише приблизний, коли та є безперервними. @denesp Як існує рівновага, коли ?

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

p_{x} = 0

$p_x=0$

— EconJohn

@EconJohn Приклад: НехайПрипустимо початкові кошти для кожного гравця. Для будь-якого ціновий вектор є вектором рівноважної ціни. Це означає, що з огляду на такий вектор цін у кожного споживача є настільки оптимальний пакет споживання, що попит на кожне товарне підприємство не перевершує пропозицію відповідного товару. Сума, яка вимагається є тривіально для обох гравців. Для це може бути будь-яке число, принаймні . Так, наприклад, становитиме рівновагу.

U_{A} (x_{1}, x_{2}) = min (x_{1}; x_{2}) and U_{B} (x_{1}, x_{2}) = min (x_{1}; x_{2}) .

$U_A(x_1,x_2) = \min(x_1;x_2) \mbox{ and } U_B(x_1,x_2) = \min(x_1;x_2).$

(3, 2)

$(3,2)$

p_{2} \in R_{+ +}

$p_2 \in \mathbb{R}_{++}$

(0, p_{2})

$(0,p_2)$

x_{2}

$x_2$

2

$2$

x_{1}

$x_1$

2

$2$

(2, 2), (4, 2)

$(2,2),(4,2)$

— Гіскард

Суттєва опуклість вподобань не потрібна в існуючих результатах для конкурентних рівноваг. Вподобання Леонтьєфа досить добре поводиться. Вони суцільні, опуклі та сильно монотонні. Якщо всі фонди суворо позитивні, існування конкурентної рівноваги в біржовій економіці (або виробничій економіці, що задовольняє стандартним умовам) існує за першим результатом оригінальної статті Ерроу-Дебре .

Стрілка-Дебреу насправді не просто вимагає опуклості, вони роблять, як вказує denesp в коментарі, припущення про опуклості (III.c) для функцій корисності, що і означає, що . Звичайна опуклість достатня для існування, але вподобання Леонтьєфа також задовольняють умові (III.c). Припустимо . Тоді $u(x)>u(x')$ $0<t<1$ $u(tx+(1-t)x')>u(x')$ $\min\{\alpha_i x_i\}>\min\{\alpha_i x_i'\}$

min {α_{i} (t x_{i} + (1 - t) x_{i}^{'})} > min {α_{i} t x_{i}} + min {α_{i} (1 - t) x_{i}^{'}}

$\min\big\{\alpha_i (tx_i+(1-t)x_i')\big\}>\min\big\{\alpha_i tx_i\big\}+\min\big\{\alpha_i(1-t) x_i'\big\}$

= t min {α_{i} x_{i}} + (1 - t) min {α_{i} x_{i}^{'}} > min {α_{i} x_{i}^{'}} .

$=t\min\{\alpha_i x_i\}+(1-t)\min\{\alpha_i x_i'\}>\min\{\alpha_i x_i'\}.$

— Майкл Грінекер
джерело

Невже Арроу-Дебре не потрібна сувора опуклість на сторінці 269 / III.c ?

— Giskard

@denesp Це припущення десь між суворою опуклістю і опуклості; деякі люди називають це сильною опуклістю. Зокрема, його задовольняють переваги Леонтьєва (тоді як суворої опуклості немає).

— Майкл Грінекер

Отже, з преференціями Leontief CE завжди існує? Це змушує мене замислитися над паперами, які я прочитав два роки тому. ПІДПРИЄМСТВО заявляє, що вирішити, чи існує ЦВ, є складною обчислювальною проблемою. Як це може бути важкою проблемою, якщо відповідь завжди так? Мені потрібно перечитати ці документи, щоб дізнатися це.

— Ерел Сегал-Халеві

@ ErelSegal-Halevi Посилання на деякі з зазначених статей було б добре!

— Giskard

@denesp ось деякі посилання: doi.org/10.1145%2F1109557.1109629 і doi.org/10.1007%2F978-3-540-73814-5_9 і doi.org/10.1007%2F978-3-540-27836-8_33

— Ерел Сегал-Халеві