Справедливе та ефективне розподіл "сімейних товарів"

8

Розглянемо економіку обміну з двома товарами, наприклад, меблями для дому (x) та електричним обладнанням (y). Цікавим у цих товарах є те, що коли сім'я володіє пакетом, всі члени родини користуються однаковим пакетом (це як «клубне благо», але тільки для сім’ї).

Є дві родини. У кожній родині є різні члени з різними уподобаннями над пучками. Припустимо, що всі уподобання є монотонно зростаючими і строго опуклими.

Розподіл є пару пучків, $(x_1,y_1)$ для сімейства 1 і $(x_2,y_2)$ для сім'ї 2.

Виділення називається заздрісним, якщо:

Усі члени родини 1 вважають, що $(x_1,y_1)$ принаймні так добре, як $(x_2,y_2)$ ;
Усі члени родини 2 вважають, що $(x_2,y_2)$ принаймні так само добре, як $(x_1,y_1)$ .

Розподіл називається ефективним парето, якщо немає іншого розподілу пачок сімей, таким чином, щоб усі члени всіх сімей мали перевагу і хоча б один член однієї сім'ї строго віддав перевагу.

За яких умов існує ефективний парето розподіл без заздрощів?

Якщо в кожній родині є один член, то існує ефективний парето розподіл без заздрощів; це відома теорема Варіана . Чи узагальнена ця теорема від індивідів до сімей?

— Ерел Сегал-Халеві
джерело

Дуже чітке визначення заздрості. Можна припустити, що ви якось спочатку згуртуєте свої переваги, а потім заявите, що заздрості відповідно до сукупних уподобань немає.

— Giskard

@denesp дійсно, я думав про об'єднання переваг, наприклад, використання функції соціального забезпечення. Але кожен вибір такої функції був би довільним і недостатньо мотивованим.

— Ерел Сегал-Халеві

@ ErelSegal-Halevi Ви хочете, щоб ми також припускали, що корисність кожного члена кожної родини слабко збільшується в кількості

і

отримує їхня родина? Якщо це так, я маю для вас дуже незадовільну умову, згідно з якою існує ефективний парето розподіл без заздрощів: припустимо, що для кожної сім'ї кожен член цієї родини має однакові переваги ...: P

x

$x$

y

$y$

— Шейн,

@Shane слабка монотонність здається розумним припущенням. Якщо в кожній родині всі члени мають однакові уподобання, то кожна сім'я насправді схожа на одного агента, тож ми повертаємось до стандартних налаштувань ...

— Ерел Сегал-Халеві

Як щодо випадку, коли

і

? Якщо припустити слабку монотонність, то це повинно бути Парето і не заздрити. Звідти ми могли б зробити деякі невеликі зміни епсілону?

x_{1} = x_{2}

$x_1 = x_2$

y_{1} = y_{2}

$y_1 = y_2$

— Кітсун Кіннота

2

Зараз я не впевнений у еквівалентності відновлення, а тому корисність цієї відповіді - дивіться коментарі нижче.

Це початок відповіді та спроба продемонструвати, наскільки сильними повинні бути необхідні припущення, щоб гарантувати існування.

Давайте перетворимо проблему на ту, що еквівалентно, але трохи легше працювати. Замість того, щоб індексувати сім'ї, давайте замість цього індексувати за агентами (членами сімей). Ключовим моментом цього відновлення є розуміння того, що сім'ї можна записати як обмеження: Якщо агенти та належать одній сім'ї, то і . $i$ $j$ $x_i=x_j$ $y_i = y_j$

Тепер ми повернулися в стандартне середовище з окремими агентами (а не сім'ями), але з цими сімейними обмеженнями. Згадайте доказ теореми Варіана, який ви посилаєте у питанні. Він використовує наявність конкурентної рівноваги від рівних доходів. У цьому контексті нам знадобиться існування конкурентної рівноваги від рівних доходів, в яких також були дотримані сімейні обмеження. Це буде дуже важко зробити. Наприклад, вважаємо, що і є в сім'ї, і $i$ $j$ де крихітний. Ці уподобання є монотонними та опуклими. В основному, один член сім'ї піклується про а інший піклується про . Якщо кожен з двох агентів купує і щоб максимально використовувати його корисність, ви не очікували б або в конкурентній рівновазі (див.Додатокв кінці).

u_{i} = x_{i} + ε y_{i} and u_{j} = ε x_{j} + y_{j}

$u_i=x_i + \varepsilon y_i \:\: \text{ and } \:\: u_j = \varepsilon x_j + y_j$

ε > 0

$\varepsilon>0$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x_{i}^{*} = x_{j}^{*}

$x_i^* = x_j^*$

y_{i}^{*} = y_{j}^{*}

$y_i^* = y_j^*$

Ось чому вам, безумовно, потрібне певне припущення щодо подібності уподобань у сім'ях (принаймні, використовувати версію доказів Варіана). Моє відчуття полягає в тому, що якщо ви дасте мені будь-яку довільно невелику різницю в уподобаннях між членами сім’ї, я можу побудувати приклад навколо неї, коли не існує CEEI, в якому вони обирають би той самий розподіл. І тоді, принаймні, ви не можете використати доказ Варіана.

Два питання:

Чи згодні ви з тим, що моє переформулювання проблеми формально відповідає вам?
Чи можете ви придумати будь-яке припущення слабше, ніж припускати однорідність переваги в сім'ї, яку я можу спробувати визнати недійсним протилежним прикладом?

Додаток: Пам'ятайте, що в умовах конкурентної рівноваги гранична норма заміщення кожного агента (MRS) дорівнює співвідношенню цін. Тут мої агенти мають постійні та різні MRS, тому не може існувати конкурентної рівноваги із співвідношенням цін, що дорівнює обом їх MRS. Якщо у кожного агента є MRS, який змінюється, то, можливо, вони можуть бути рівними при співвідношенні рівноважних цін. Тож, можливо, ви могли б відійти від якогось поняття локальної однорідності сімейних уподобань. Але вам потрібно, щоб вони були локальними однорідними в конкурентній рівновазі, саме це ви намагаєтеся довести, що це існує, так що це було б трохи круговим.

Важлива примітка: Як уже згадувалося раніше, я припускаю, що єдиний спосіб довести існування - це те, як це зробив Варіан через CEEI. Можливо, існують інші методи доказування, які вирішують ці проблеми, але я підозрюю, що це не так.

Поза межами CEEI: Як в коментарях зазначається ОП, доведення існування PEEFs через CEEI, як це робить Варіан, є дещо обмежуючим. Я не маю багато що сказати про доведення існування ПЕФЕ безпосередньо, але легко видно наступне: Для будь-якого розподілу, що задовольняє вашій умові ефективності Парето (ігноруйте на даний момент беззаздрість), для будь-якого такого, що , $i,j$ $x_i, x_j, y_i, y_j > 0$

M R S_{i} = M R S_{j}

$MRS_i = MRS_j$ Якби це не було правдою, було б покращення Парето. Конкурентна рівновага по суті дорівнює MRS через співвідношення ціни, але вам все одно потрібно зрівняти ці MRS лише для того, щоб знайти ефективний розподіл Парето. Я думаю, що сімейні обмеження зроблять це дуже важко - важко придумати оточення та сімейні обмеження, щоб не існувало ефективної рівноваги Парето, яка б задовольняла ці обмеження. У будь-якому випадку це може бути ще одним частковим кроком до відповіді: забудьте про заздрість. Спочатку спробуйте висунути припущення щодо переваг (а може бути, і для сімейних обмежень), що гарантує існування ефективного розподілу Парето, що задовольняє сімейні обмеження. Тоді турбуйтеся про заздрість.

— Шейн
джерело

1

Я поділяю вашу інтуїцію, що CEEI з сімейними обмеженнями зазвичай не існує. Але є набагато більше асигнувань PEEF, ніж асигнування CEEI. У багатьох випадках CEEI є по суті унікальним, тоді як існує багато різних PEEF. Як приклад (без сімейних обмежень), візьміть

і

а загальний обсяг коштів (4,4). Єдиний розподіл CEEI - це [(4,0); (0,4)]. Однак діапазон асигнувань PEEF йде від [(3,0); (1,4)] до [(4,1); (0,3)]. CEEI - лише одна точка в цьому діапазоні.

u_{1} = 2 x_{1} + y_{1}

$u_1 = 2 x_1 + y_1$

u_{2} = x_{2} + 2 y_{2}

$u_2 = x_2 + 2 y_2$

— Ерел Сегал-Халеві

1

Я знайшов в оригінальному документі Varian: sciencedirect.com/science/article/pii/0022053174900751 докази існування асигнувань PEEF, які не покладаються на CEEI, і тому вони дійсні навіть у ситуаціях, коли CEEI не існує (переваг не суворо опуклі). Поки що мені не вдалося зрозуміти ці докази, але вони можуть бути актуальними.

— Ерел Сегал-Халеві

@ ErelSegal-Halevi У вашому прикладі будь-який розподіл, в якому обидва агенти отримують строго позитивні кількості обох товарів, є Парето неефективним, ні? Я намагаюся зрозуміти ваші діапазони. Однак загалом я згоден з вами. Я додав додатковий розділ щодо доказування ПЕФЕ безпосередньо (без CEEI). Я не думаю, що ви вважаєте це особливо задовольняючим, але це майже все, що мені зараз очевидно.

— Шейн

1

ти правий. Діапазони виділень PEEF у моєму прикладі:

де

, і

де

[(x_{1}, 0), (4 - x_{1}, 4)]

$[(x_1,0),(4-x_1,4)]$

x_{1} \in [3, 4]

$x_1\in [3,4]$

[(4, 4 - y_{2}), (0, y_{2})]

$[(4,4-y_2),(0,y_2)]$

y_{2} \in [3, 4]

$y_2\in [3,4]$

— Erel Segal-Halevi

1

x_{i}, x_{j}, y_{i}, y_{j}

$x_i,x_j,y_i,y_j$

i

$i$

j

$j$

x_{i} = x_{j} = 1

$x_i = x_j = 1$

x

$x$ , а не 2. Тепер я сумніваюся в еквівалентності відновлення. Сім'ї - це не лише обмеження (оскільки люди повинні ділитися одними і тими ж товарами), вони також є вигодою, оскільки товари публічні / поділяються в межах сім'ї.

— Шейн

2

$n_u$ $n_v$ $i$

\begin{array}{rcl} u_{i} (x_{u}, y_{u}) = a_{i} x_{u} + y_{u} \end{array}

$\begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*}$

a_{i}

$a_i$

i \in {1, 2, \dots, n_{u}}

$i\in\{1,2,\ldots, n_u\}$

$j$

\begin{array}{rcl} v_{j} (x_{v}, y_{v}) = b_{j} x_{v} + y_{v} \end{array}

$\begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*}$

b_{j}

$b_j$

j \in {1, 2, \dots, n_{v}}

$j\in\{1,2,\ldots, n_v\}$

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

$X$ $Y$ $(\omega_X, \omega_Y)$

$\theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i]$ $m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2}$

$\displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right)$ $\displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right)$

— Аміт
джерело

min_{i} a_{i} \geq max_{j} b_{j}

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

Усі члени сім’ї U мають вищу MRS, ніж усі члени родини V.

— Аміт

Я думаю, що для 2 сімей та лінійних уподобань цю вимогу можна зняти. Я ще повинен працювати над деталями.

— Ерел Сегал-Халеві

Я думаю, що буде важко зняти цю вимогу, тому що ми хочемо, щоб виділення були заздрими. Умови можуть не виглядати акуратними, навіть якщо це якось розслаблено. Але цей результат стосується більшого класу корисних функцій. Непогано буде розширити результат, щоб включити вподобання іншого типу. Наприклад: його версія також може бути доведена для переваг Кобба Дугласа.

— Аміт

1

Припустимо, уподобання всіх агентів у всіх сім'ях є монотонними та опуклими (стандартні припущення теорії споживачів).

Тоді ефективний парето-розподіл без заздрості завжди існує, коли є дві сім'ї. Однак вона може не існувати, якщо є три або більше сімей.

Докази та приклади можна знайти в цьому робочому документі .

— Ерел Сегал-Халеві
джерело

-2

Повідомлення проблеми, мабуть, означає, що X і Y не можуть бути замінниками (електричний прилад не можна використовувати як меблі для дому).

Парото-ефективний розподіл без заздрості існує, коли:

Щонайменше для одного агента хоча б деякі товари мають негативну корисність або є доповненнями, і агенти можуть вирішити не споживати.

Приклад:

Агенти A і B перебувають у сімействі F1.
Корисна функція агента A:

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

Функція корисності агента B:

Ub = X1-X2 + Y1-Y2

Агенти C і D знаходяться в сім'ї 2.
Агент C має функцію корисності:

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

Агент D має корисну функцію:

Ud = -X1 + X2-Y1 + Y2

Рішення:

F1 віддає перевагу (X1, Y1), а агент A вирішив не споживати користі.

F2 віддає перевагу (X2, Y2) і агент C, вибраний таким, що не споживає ніякої користі.

Це дійсно семантичні аргументи, і немає значущої рівноваги без припущення загальних переваг.

— DJ Sims
джерело

Не могли б ви зробити свої заяви більш точними? Наприклад, що таке "негативні доповнення"? І будь ласка, запропонуйте хоча б евристичний аргумент, що підтверджує твердження, якщо не повний доказ, щоб ми могли зрозуміти ваші міркування.

— Шейн

[0, x_{1}]

$[0,x_1]$

Редагував відповідь. Ви маєте рацію з другого пункту. Якщо агенти зобов'язані споживати, аргумент не застосовується.

— DJ Sims