Покажіть, що

Визначення та інше:

Розглянемо відфільтрований простір ймовірностей де$(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$

1. $$T > 0$$

2. $$\mathbb P = \tilde{\mathbb P}$$

Це ризик-нейтральний захід .

3. $$\mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}}$$

де є стандартним P = ˜ P - бровенський рух.$W = \tilde{W} = \{\tilde{W_t}\}_{t \in [0,T]} = \{{W_t}\}_{t \in [0,T]}$$\mathbb P=\tilde{\mathbb P}$

Розглянемо де$M = \{M_t\}_{t \in [0,T]}$

$$M_t := \frac{\exp(-\int_0^t r_s ds)}{P(0,t)}$$

Визначте передній захід :$\mathbb Q$

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} := M_T = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)}$$

де - процес короткої ставки, а { P ( t , T ) } t ∈ [ 0 , T ] - ціна облігації в момент t.$\{r_t\}_{t \in [0,T]}$$\{P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$

Можна показати, що є ( F t , P ) - мартінгале, де динаміка цін облігацій задається як:$\{\exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$$(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t$$

де

1. і ξ t є F t -адаптованими$r_t$$\xi_t$$\mathscr F_t$

2. задовольняє умову Новікова (я не думаю, що ξ t повинен представляти щось конкретно)$\xi_t$$\xi_t$

---

Проблема:

Визначте стохастичний процес st$W^{\mathbb Q} = (W_t^{\mathbb Q})_{t\in[0,T]}$

$$W_t^{\mathbb Q} := W_t - \int_0^t \xi_s ds$$

Використовуйте теорему Гірсанова, щоб довести:

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb Q \ \text{-Brownian motion.}$$

---

Що я спробував:

Оскільки задовольняє умові Новікова,$\xi_t$

$$\int_0^T \xi_t dt < \infty \ \text{a.s.} \ \to \ \int_0^T -\xi_t dt < \infty \ \text{a.s.}$$

$$\to L_t := \exp(-\int_0^t (-\xi_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \xi_s^2 ds)$$

є мартингале.$(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

Теорема Гірсанова,

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb P^{*} \ \text{-Brownian motion, where}$$

$$\frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} := L_T$$

Я думаю, ми маємо, що є стандартним Q- Brownian Motion, якщо ми можемо це показати$W_t^{\mathbb Q}$$\mathbb Q$

$$L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$$

Я втратив свої замітки, але, думаю, мені вдалося це показати, використовуючи лему Іто

1. $$dL_t = L_t \xi_t dW_t$$

2. $$dM_t = M_t \xi_t dW_t$$

З тих, хто це роблю

$$d(\ln L_t) = d(\ln M_t)$$

$$\to L_t = M_t$$

$$\to L_T = M_T$$

QED

Це так?

(Якщо розглядати питання та нотації, які використовуються більш уважно, формулювання здається проблематичним у кількох місцях.)

Загальний факт

$W$$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$$(L_t)_{t \in [0,T]}$

$$\frac{dL_t}{L_t} = \psi_t dL_t, \; L_0 = 1.$$ $L_t = e^{\int_0^t \psi_s dW_s - \frac12 \int_0^t \psi^2_s ds }$$L_t$$\mathbb{Q}$ $$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$$ $\mathbb{Q}$ $$W^{\mathbb{Q}}_t = W_t - \int_0^t \psi_s ds$$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

$W^{\lambda}_t = W_t + \int_0^t \lambda_s ds$$W^{\lambda}$$\mathbb{Q}$$L W^{\lambda}$$\mathbb{P}$

$$\begin{align*} d L W^{\lambda} &= L d W^{\lambda} + W^{\lambda} dL + dL dW^{\lambda}\\ &= L (\psi + \lambda) dt + (\cdots) dW, \end{align*}$$ $\lambda = - \psi$$W^{\lambda}$$\mathbb{Q}$

Ціна зі знижкою як щільність ймовірності

$S_t$

$$\frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t$$ $\mathbb{P}$$(r_t)$$\sigma_t$$(W_t)$

$T$$X_T$$X_t$

$$\frac{d X_t}{X_t} = r_t dt + \psi_t dW_t.$$ $(\psi_t)$$X_t$

$M_t = e^{- \int_0^t r_s ds} X_t$

$$\frac{d M_t}{M_t} = \psi_t dW_t, \, M_0 = X_0.$$ $T$

$L_T = \frac{M_T}{M_0}$

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$$ $\mathbb{Q}$ $$W_t - \int_0^t \psi_s ds$$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

$e^{- \int_0^T r_s ds} X_T$$T$$X_T$$0$$X_0$$\mathbb Q$$\mathbb Q$$\frac{d X_t}{X_t}$

$(Y_t)$$e^{- \int_0^t r_s ds} Y_t$$\mathbb P$$(\frac{Y_t}{X_t})$$\mathbb Q$

Вперед міра

$X_t = P(t,T)$$t$$T$$X_T = P(T,T) = 1$

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t,$$ $\xi_t$

$(r_t)$$\xi = 0$

$\mathbb Q$

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{e^{- \int_0^T r_s ds} P(T,T)}{P(0,T)} = L_T.$$ $$\frac{d L_t}{L_t} = \xi_t dW_t,$$ $\mathbb{Q}$ $$W_t - \int_0^t \xi_s ds$$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

$M_t$$\frac{e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)}{P(0,T)}$

Емпіричні коментарі

$\mathbb Q$$\mathbb Q$

$F(t,T)$$t$$T$

$$F(t,T) P(t,T) = S_t$$ $\mathbb P$$F(t,T)$$\mathbb Q$

$$F(t,T) = \frac{S_t}{P(t,T)}$$ $P(t,T)$ $$\frac{d \left( e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T) \right)}{ e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)} = \xi_t dW_t,$$ $P(t,T)$