Чому індуктивність (L) пропорційна поворотам-квадрату (N²)?

Ми починаємо з рівняння Максвелла

$$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} + \overbrace{\mu \epsilon \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}^0.$$

Ми беремо поверхневу інтеграцію обох сторін за поверхню ( ) всередині середнього шляху ( с ) ядра.$s$$c$

$$\int_s \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} \right) \cdot d\mathbf{s} = \mu \int_s \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s}$$

$c$$\Phi$

$$\oint_c \mathbf{B} \cdot d \mathbf{\ell} = \mu N I$$

$NI$$N$

Щільність магнітного поля всередині цих видів ядер вважається рівномірною. Отже, ми можемо писати

$$B \ell_c \overset\sim= \mu NI \implies B = \dfrac{\mu NI}{\ell_c};$$

$\ell_c$

$A_c$

$$\Phi = BA_c = \dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}$$

За визначенням, індуктивність - це величина магнітного потоку, що генерується за прикладний струм, тобто

$$L \overset\triangle= \dfrac{\Phi}{I}.$$

Отже, ми знаходимо індуктивність системи як

$$\boxed{ L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{\dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}}{I} = \dfrac{\mu NA_c}{\ell_c} }.$$

Але всі інші джерела ( приклад ) дають індуктивність індуктора на зразок цього

$$L = \dfrac{\mu N^2A_c}{\ell_c}.$$

Яку помилку я зробив у своєму виведенні? Будь ласка, поясніть детально.

$N^2$

Ще один спосіб виразити цю залежність - сказати: через магнітну зв’язку між витками.

Подумайте про індуктор одного витку (ліворуч внизу), тоді уявіть, що один виток розділився на два паралельних дроти, які намотані дуже щільно, щоб вони займали практично однаковий простір (справа внизу).

Дві паралельні дроти, для заданої прикладеної напруги, будуть приймати половину струму індуктора одноразового повороту і разом вони приймають той же струм, що і одиночний виток: -

Через це кожен окремий паралельний провід ОБОВ'ЯЗКОВО має мати подвійний опір одинарного проводу і разом, коли їх проводити паралельно, демонструвати той же імпеданс, що й окремий провід. Добре поки що?

Тепер переставте ці два дроти (на увазі), щоб вони були між собою. Імпеданс змінюється вчетверо:

Це означає, що індуктивність збільшилася в чотири рази для подвоєння витків, і тривіально розширити цей приклад на n оборотів.

Яку помилку я зробив у своєму виведенні? Будь ласка, поясніть детально.

Індуктивність є

$$L = \frac{\lambda}{I} = \frac{N\Phi}{I}$$

$\lambda$