Навіщо використовувати складні числа для представлення амплітуди та фази змінного струму

36

Чому так, що в ланцюгах змінного струму синусоїди представлені у полярній формі як складне число? З фізичної точки зору я логічно не розумію, чому взагалі є уявна частина. Чи просто з математичної точки зору полегшити аналіз схем?

ac circuit-analysis

— Превост
джерело

Можливий дублікат: electronics.stackexchange.com/questions/28285/…

— clabacchio

8

Цитата: "Чи чисто з математичної точки зору полегшити аналіз схем?"

Я не впевнений, чи відповіли на цю частину питання вже достатньо. Отже: Так - використання складної математики для опису синусоїдальних сигналів не має прямого фізичного значення. Просто "зробити аналізи простішими".

Як приклад: введення відомої формули Ейлера для синусових сигналів до серії Фур'є призводить до негативних частот (симетричних до позитивних частот). Звідси виникає питання: чи існують насправді негативні частоти? Відповідь НІ! Це просто корисний математичний інструмент.

— LvW
джерело

Саме це мені було цікаво.

— Престол

83

Насправді мотивація досить проста.

Коли у вас є лінійна схема, і ви стимулюєте її лише однією частотою, де б ви не дивилися, ви завжди знайдете цю саму частоту, змінюються лише амплітуда і фаза хвилі, яку ви вимірюєте.

Що ви тоді робите, - це добре сказати, забудьмо про частоту, якщо я буду відслідковувати амплітуду і фазу напруг та / або струмів по ланцюгу, то буде більш ніж достатньо. Але як це можна зробити? Чи не існує жодного математичного інструменту, який дозволяє відслідковувати амплітуду та фазу? Так, у вас є: вектори. Вектор має амплітуду, тобто його довжину, і фазу, тобто кут, який він утворює з віссю x, напрямок ccw є позитивним.

Тепер ви можете заперечувати проти нормальних векторів, але це нічого крутіше? І навіщо нам використовувати уявний блок?

Відповідь на друге питання проста: робити обчислення за допомогою векторів - це біль, позначення -

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 10 \end{matrix})

$\pmatrix{2\\3}+\pmatrix{1\\7}=\pmatrix{3\\10}$

І це лише додаток! Ну, це лише проблема позначення, якщо ми обираємо іншу базу речі можуть бути і кращими ... І ця база, можливо, існує, але вимагає уявної одиниці . Попередній безлад стає: Набагато простіше, чи не так? $\mathbb{R}^2$ $j$

2 + 3 j + 1 + 7 j = 3 + 10 j

$2+3j+1+7j=3+10j$

Гаразд, але що має уявний вектор спільного з напругою? Добре спробуйте уявити площину Гаусса, вісь x - реальна вісь, вісь y - уявна.

Напруга може бути представлено вектором, орієнтованим на початок, причому його довжина дорівнює значенню напруги, при цьому початковий кут дорівнює фазі. Тепер магічний трюк: почніть обертати вектор так, щоб його кутова швидкість відповідала бажаній частоті: $\omega$

приємний фазор

Бам. Це те, що ми називаємо фазором , і той маленький хлопець - найсильніша зброя у вас проти жорстких схем.

v_{1} (т) = V_{1} \cos (2 π f_{0} т + θ_{1}) v_{2} (т) = V_{2} \cos (2 π f_{0} т + θ_{2})

$v_1(t)=V_1\cos(2\pi f_0t+\theta_1)\\ v_2(t)=V_2\cos(2\pi f_0t+\theta_2)$

введіть тут опис зображення

І найкраще, що весь реальний аналіз схеми, який ви вивчали дотепер, продовжує працювати з фазорами та складними опірними характеристиками. Тобто: закон Ома відповідає фазорам і складним імпедансам , і це чудово, оскільки у нас є тонна інструментів для вирішення схем, побудованих за законами Ома і Кірхгофа, і ми все ще можемо їх використовувати.

З фазарами взяти похідну / інтегрувати також дуже просто: як ви знаєте, оскільки ми говоримо про синуси та косинуси все з однаковою частотою, це лише питання зсуву фази, і це - переконання - дуже зрозуміло, якщо ви використовуєте складне експоненціальне подання.

TL; DR: Синусоїди представлені як поворотні вектори на полярній площині, це майже схоже на час зупинки, коли вони обертаються і роблять фотографію, тобто обчислюють фазові та амплітудні відносини. Просто перегляньте сторінку фазора у Вікіпедії. І перевірте ще й цю більш стислу відповідь.

— Володимир Креверо
джерело

7

Nice pwretty фотографії мені подобаються +1

— Енді ака

Ще одне, що приємно щодо складного подання: Похідна від складного експоненціала - це ще один складний показник із зсувом фази. Тому не потрібно слідкувати за тим, чи використовуєте ви синус або косинус. (Це, звичайно, мається на увазі у вашій точці про ланцюг, керований однією частотою, але я думаю, що це приємний момент, щоб бути явним про це.)

— Напівкласичний

Ви промальовуєте дійсно класну річ, яка робить складні числа кращими за вектори: E = IR працює зі складними числами.

— supercat

Це трохи вище розділу tldr ...

— Володимир Cravero

Ніцца (+1). Чи можете ви додати до кінця два фазора, щоб показати амплітудну модуляцію, а потім зробити фазовий зсув 90 градусів для FM? (Я в основному хотів би бачити діаграму FM-фазора з високим індексом модуляції. Мені важко це уявити.)

— Джордж Герольд,

1

Головне, що слід зазначити, будь-який періодичний сигнал (з деякими основними аналітичними обмеженнями, які або застосовуються на практиці, або застосовуються в довільній ступені, якщо не точно), може бути представлений як сума синусоїдних і косинусних сигналів з частотою, кратною кратному період сигналу.

Тепер, коли ви покинете правління прямого реагування (як резистори), енергію можна зберігати та отримувати. Котушки накопичують магнітну енергію (подавати напругу і струм починається лише поступово, але триває, коли напруга руйнується), конденсатори зберігають електричну енергію (застосовувати струм і напруга починається поступово, але продовжує йти, коли струм виходить з ладу), маси перетворюють силу поступово в імпульс , пружини поступово перетворюють імпульс у силу тощо.

Багато форм влади в основному є площею якоїсь міри збудження. Тепер виявляється, що сума квадратів синуса і косинуса одного аргументу дорівнює 1. Постійна. Тож ви дуже добре описуєте періодичне перетворення енергії за допомогою синусів та косинусів.

Виявляється, що алгебра з використанням синусів і косинусів є малою. Якщо ви додасте уявний термін, який представляє енергетичну форму періодичного сигналу, який вас не цікавить, і викиньте будь-яку уявну частину, що залишилася після того, як ви закінчите, алгебраїчні маніпуляції стають набагато простішими за рахунок того, що фактичні змінні є складними .

— user53147
джерело

1

$v(t) = Vcos(\omega t + \phi)$ $L$

v (т) = R е {V е^{j (ω т + ϕ)}} = L \frac{г i}{г т} R е {V е^{j (ω т + ϕ)}} г т = L г i \int R е {V е^{j (ω т + ϕ)}} г т = L \int г i R е {\int V е^{j (ω т + ϕ)} г т} = L i (т) R е {\frac{1}{j ω} V е^{j (ω т + ϕ)}} = L i (т) i (т) = R е {\frac{1}{j ω L} V е^{j ϕ} е^{j ω т}}

$v(t) = Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = L\frac{di}{dt}\\ Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L\ di\\ \int Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L \int \ di\\ Re\{\int Ve^{j(\omega t + \phi)}\ dt\} = L i(t)\\ Re\{\frac{1}{j\omega}Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = Li(t)\\ i(t) = Re\{\frac{1}{j\omega L}Ve^{j\phi}e^{j\omega t}\}$

$j\omega L$ $v(t)$ $v_o = Ve^{j\phi}$ $i_o = \frac{v_o}{R} = \frac{v_o}{j\omega L}$ $i(t)$ $i_o$ $e^{j\omega t}$

— Veritas
джерело

0

Я припускаю, що ми погоджуємось, що це дві частини інформації, які представляють сигнал змінного струму в будь-який момент, амплітуду та фазу, тоді як їх амплітуда є лише для постійного струму.

Ми маніпулюємо інформацією не тільки в аналізі, але і в дизайні схем. Компоненти мають імпеданс і впливають на змінні сигнали. Отже, коли ми проектуємо, нам потрібно вміти обчислювати опори, щоб створити схему із специфічними властивостями змінного струму.

Складні числа зручно представляти і обчислювати як змінні сигнали, так і імпеданс. Два розміри, довжина і кут, дозволяють нам обчислювати амплітуду і фазу разом, і підтримувати їх послідовність.

— гамбурмер
джерело