Яка функція серії Фур'є?

Що таке серія Фур'є? Для чого він використовується?

Серія Фур'є:

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ]$

Термін є постійним, це рівень постійного струму. Це також могло бути написане, не ділившись двома, але це конвенція. Умови нескінченної суми - це сума зваженого синуса і зваженого косинуса з однаковою частотою. Якби ви намалювали їх як фазори в складній площині Арганда, ви побачили б, що результат знову є синусом, але з іншою амплітудою та зміщенням фази. Тому рівняння також можна записати як $\dfrac{a_0}{2}$

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ]$

Отже, у нас є сума синусів, всі множинні частоти основної частоти , кожна з яких має свою амплітуду та фазу. $\omega_0$

Фур’є довів, що ви можете описати кожну повторювану функцію таким чином. Іноді серія є нескінченною, іноді має обмежену кількість термінів. Іноді терміни відсутні, а це означає, що їх амплітуда дорівнює нулю.

Один з найвідоміших серій Фур'є - це квадратна хвиля:

$V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right]$

або, розширено:

$V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...$

Отже, це така серія з пропущеними термінами: квадратна хвиля не має навіть гармонік. На наступному зображенні показано, як це виглядає у часовій області:

У верхньому малюнку відображається сума перших двох доданків, потім третього, а внизу додається четвертий доданок. Кожен доданий додаток наблизить форму хвилі до квадратної хвилі, і вам знадобиться межа серії до нескінченності, щоб отримати ідеальну квадратну хвилю.

Іноді важко побачити в ньому фундаментальний синус. Візьмемо для прикладу суму синуса 3 Гц і 4 ГГц. Отримана форма хвилі буде повторюватися раз на секунду, це 1 ГГц. 1Гц є основним, навіть якщо його амплітуда дорівнює нулю. Серію можна записати як

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

Усі наступні терміни також мають нульову амплітуду.

Кожен реалізований аналоговий сигнал, все, що ви можете придумати або обгрунтувати законно на графіку напруги проти часу, може бути виражений математичним виразом як сума нескінченного числа синусоїд різної частоти - щось подібне:

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

Різні сигнали побудовані шляхом зміни значення A, B, і Cт.д. , і f1, f2та інші.

Коли хтось посилається на ряд Фур'є, він позначає вираження форми хвилі як ряд операцій додавання, як вище.

Реально кожен аналоговий сигнал має деякий вміст на кожній частоті - навіть якщо амплітуда .1e-67, він все ще є. В ідеалі це не так - якщо я будую чисту квадратну хвилю, тоді я знаю, що вона складається ТІЛЬКИ частот, які є непарними кратними її періоду. Таким чином, квадратна хвиля 1 Гц - це сума синусоїди 1 Гц плюс синусоїда 3 Гц і так далі по лінії. Для інших відомих форм хвиль, таких як трикутникові хвилі та пандуси, люди зробили розрахунки щодо того, які частоти є і в якому вмісті.

Серія Фур'є є засобом вираження періодичної форми хвилі як (можливо, нескінченної) суми «гармонічних» синусоїдальних форм хвиль.

Він також використовується для вираження сигналу на обмеженому (компактному) часовому інтервалі як нескінченна сума синусоїдальних форм хвиль.

По суті, встановлюючи зв'язок між сигналом у часовій області (тобто сигналом, вираженим функцією часу), і еквівалентним сигналом у частотній області (тобто сигналом, вираженим як функція частоти), Фур'є Серія дає можливість гармонічного аналізу сигналів та систем, що є основою теорії радіопередачі, теорії кодування, теорії управління, квантової теорії та багатьох інших дуже корисних областей техніки.

Хоча вираження сигналів серії Фур'є спочатку здається складнішим, включаючи складні вирази та "нескінченні суми", як математичний інструмент, вони дозволяють інженерам вирішувати проблеми, які неможливо вирішити, використовуючи вирази закритої форми.

Простіше кажучи, іноді корисно виражати зміну в просторі та / або часі як зміну частоти та фази. Особливо для періодичних варіацій. Але навіть коли варіація не є періодичною, за умови, що зміна обмежена певним інтервалом у просторі та / або часі, вона також буде обмежена відповідним інтервалом (пропускною здатністю) за частотою.

Застосування серії Fourier допомагає зрозуміти пропускну здатність каналів для систем зв'язку, розробити алгоритми стиснення зображень та підвищити надійність системи розподілу електроенергії.

Щоб додати деяку практичність вищезазначеним коментарям, ряд часових областей Фур'є можна розкласти на компоненти частотної області за допомогою таких алгоритмів, як FFT (швидка трансформація Фур'є) та DFT (дискретна трансформація Фур'є). Одним важливим практичним результатом можливості застосування алгоритмів є те, що при дослідницькій роботі та дослідженні та лабораторних тестуваннях ми часто хочемо виміряти спектральну чистоту сигналів проти шумового поверху (наприклад, SNR або Spurious Free Dynamic Range), щоб побачити, наскільки чисто чи часто, неспотворений, наш вміст сигналу є. Якщо у нас є вихід часової області (наприклад, перетворювач DA), ми не можемо встановити ці значення, просто подивившись на відповідь часової області, тому часто з боку моделювання ми будемо використовувати модуль DFT для перетворення сигнал часової області в спектральну (частотну) область. У лабораторії, на Осцилоскопі, нам потрібно мати певний інструмент, який зможе розглянути спектральні властивості (зазвичай ми використовуємо спектральні аналізатори). Серце цих інструментів залежить від методу Фур'є та методів спектрального розкладання. Отож, у вас є практична причина, чому аналіз Фур'є важливий в ЕЕ.