Яка найгостріша частотна характеристика для позапричинного низькочастотного фільтра, ступінчаста відповідь якого не перевищує?

Фільтри низького пропускання Баттерворта, Бесселя, Чебичева та sinc використовуються в різних випадках, коли є різні компроміси між тим, що мають рівномірно зменшувану частотну характеристику, рівномірний фазовий відбиток, крутий обрив або реакцію "цегляна стіна". Я вважаю, що у всіх таких фільтрах можуть в деяких випадках спостерігатися перехід на ступінчасту реакцію, тобто імпульсна реакція в деяких місцях негативна.

Яка була б оптимальна частотна характеристика або які типи частотних відповідей були б доступні у фільтрі, єдиним обмеженням якого було те, що імпульсна характеристика не може бути негативною ні в якому разі? Звичайно, можливо, щоб фільтр низьких частот відповідав такому обмеженню, оскільки базовий RC-фільтр це зробить (хоча реакція такого фільтра трохи крихка). Оптимальна реакція імпульсу - це нормальна крива розподілу чи щось інше?

Я збираюся перелічити купу "фільтрів, які не перекривають". Я сподіваюся, що ви знайдете цю часткову відповідь краще, ніж взагалі ніякої відповіді. Сподіваємось, люди, які шукають "фільтр, який не перекриває", вважають цей список таких фільтрів корисним. Можливо, один із цих фільтрів буде працювати належним чином у вашій програмі, навіть якщо ми ще не знайшли математично оптимального фільтра.

Причинно-наслідкові фільтри першого та другого порядку

Етапна відповідь фільтра першого порядку ("RC фільтр") ніколи не перевищує.

Етапна відповідь фільтра другого порядку ("біквад") може бути спроектована таким чином, що він ніколи не перестарається. Існує кілька рівнозначних способів опису цього класу фільтра другого порядку, який не перевершує на крок введення:

• вона критично затухає або перекривається.
• це не завалюється.
• коефіцієнт демпфування (зета) становить 1 або більше
• коефіцієнт якості (Q) становить 1/2 або менше
• параметр швидкості занепаду (альфа) є щонайменше неврівноваженою природною кутовою частотою (омега_0) або більше

Зокрема, критично демпфірується коефіцієнт посилення єдності фільтра Саллена – Клю з рівними конденсаторами та рівними резисторами: Q = 1/2, а отже, не перевищує ступінчастий вхід.

Фільтр Бесселя другого порядку трохи недоотриманий: Q = 1 / sqrt (3), тому він має невеликий переріз.

Фільтр Баттерворта другого порядку більш занепокоєний: Q = 1 / sqrt (2), тому він має більше промахів.

З усіх можливих фільтрів LTI першого порядку та другого порядку, які є причинними та не перевищують, той, що має "найкращу" (найбільш круту) частотну характеристику, є "критично затухаючими" фільтрами другого порядку.

Причинно-наслідкові фільтри вищого порядку

Найбільш часто використовуваний причинний фільтр вищого порядку, який має імпульсну характеристику, яка ніколи не є негативною (і, отже, ніколи не переступає на ступінчастий вхід) - це "фільтр середнього бігу", який також називають "фільтром боксерського автомобіля" або " фільтром ковзних середніх" ".

Деякі люди люблять запускати дані через один фільтр коробки, а вихід з цього фільтра в інший фільтр боксерського вагона. Після кількох таких фільтрів, результат є гарним наближенням фільтра Гаусса. (Чим більше фільтрів ви каскадуєте, тим ближче кінцевий вихід наближається до Гаусса, незалежно від того, з якого фільтра ви починаєте - боксер, трикутник, RC першого порядку або будь-який інший - через центральну граничну теорему).

Практично всі віконні функції мають імпульсну характеристику, яка ніколи не є негативною, і тому в принципі може використовуватися як фільтри FIR, які ніколи не запускають на крок вхід. Зокрема, я чую хороші речі про вікно Ланцоса , що є центральною (позитивною) долею функції sinc () (і нуль поза цією часточкою). Кілька фільтрів, що формують імпульс, мають імпульсну характеристику, яка ніколи не є негативною, і тому їх можна використовувати як фільтри, які ніколи не переступають на ступінчастий вхід.

Я не знаю, який із цих фільтрів найкращий для вашої програми, і я підозрюю, що математично оптимальний фільтр може бути дещо кращим, ніж будь-який із них.

нелінійні причинно-наслідкові фільтри

Медіанний фільтр є популярним нелінійним фільтром , який ніколи не проскакує на вході ступінчастої функції.

EDIT: безаварійні фільтри LTI

Функція sech (t) = 2 / (e ^ (- t) + e ^ t) - це його власне перетворення Фур'є, і я вважаю, що він може бути використаний як своєрідний некоузальний низькочастотний фільтр LTI, який ніколи не переступає на a крок введення.

Непричинний фільтр LTI, який має імпульсну відповідь (sinc (t / k)) ^ 2, має частотну характеристику "abs (k) * трикутник (k * w)". Якщо дано ступінчастий вхід, у нього багато пульсацій часової області, але він ніколи не перекриває остаточну точку відстоювання. Вище високочастотного кута цього трикутника він дає ідеальне відхилення смуги зупинки (нескінченне ослаблення). Таким чином, в області стоп-діапазону він має кращу частотну характеристику, ніж фільтр Гаусса.

Тому я сумніваюся, що фільтр Гаусса дає "оптимальну частотну характеристику".

У наборі всіх можливих «фільтрів, які не перекривають», я підозрюю, що немає жодного єдиного «оптимальної частотної характеристики» - деякі мають кращу відмову від зупинки, а інші мають більш вузькі смуги переходу тощо.

Більшість фільтрів, що використовуються в цифровому світі, є лише вибірковою версією аналогового аналога. Великою причиною цього є те, що перед аналогічним фільтруванням було зроблено багато роботи, перш ніж з'явилася цифра, тож замість того, щоб винаходити колесо, більшість щойно використовуваних попередніх конструкцій. Перевага цифрового в тому, що фільтр вищого порядку можна досягти набагато простіше, ніж в аналоговому світі. Уявіть собі складну схему, отримуючи щоразу, коли ви додаєте чергове замовлення до дизайну.

Якщо ви збираєтесь фільтрувати тип цегляної стіни, крива Гаусса - непогане місце для початку. Якщо ви знаєте про часовий домен <-> частотний домен; Гаусс перетворюється на гаусса в іншій області. Оскільки в одній стає вітреше, в іншому стає вужчою. Отже, щоб отримати ідеальний сплеск частотної області, вам знадобиться нескінченна кількість зразків.

Якщо у вас є Matlab доступний для використання, вам слід ознайомитися з деякими вбудованими інструментами дизайну фільтрів. Ось посилання, що говорить про Баттерворта та Бесселя . Засоби проектування дозволяють задати певні аспекти фільтра. Ці аспекти змінюються для кожного типу фільтра, але деякі приклади - пропускна здатність, зупинка, пульсація тощо. Якщо ви надаєте дизайнеру потрібні обмеження, він або видасть помилку (тобто він не може зробити цей фільтр із таким типом фільтра ) або він дасть вам фільтр з мінімальним замовленням, необхідним для виконання специфікацій.