IIR фільтри, що означає нескінченність?

У мене виникають труднощі з розумінням того, що "нескінченне" в IIR означає на практиці .. У теорії імпульсна відповідь використовується для зворотного зв'язку ... Якщо цей зворотний зв'язок ніколи не закінчується, як генерується вихід?

Щоб відповісти на це запитання, ви повинні знати, що означають "Імпульс" та "Відповідь" ...

"Імпульс" - це простий імпульс. Цифрово це буде вибірка з максимальним значенням, тоді як всі інші зразки до і після цього будуть нульовими. Якби ви послухали це, то почули б щось на кшталт естради чи петарди.

«Відповідь» - це вихід фільтра (або чогось іншого), заданий імпульс.

Наприклад, ви можете прослухати "імпульсну відповідь кімнати", зайшовши в кімнату, зробивши простий хлопання в руці і прослухавши відлуння. Знадобиться певна практика, щоб хлопчик був максимально "різким". Отримати імпульсну характеристику фільтра можна таким же чином, але замість ручного плескання ви використовуєте простий імпульс, а замість кімнати у вас є фільтр.

Якщо ви подивитеся на імпульсну характеристику фільтра чи кімнати, ви побачите вихідний хитання деякий час після імпульсу (а іноді він і хитається раніше). У кімнаті ви почули це хитання, як відлуння. У фільтрі це хитання безпосередньо пов'язане з частотою та фазовою характеристикою фільтра. У кімнаті кількість часу, коли ви чуєте відлуння, називається "час реверберації" - для фільтра немає відповідного терміна, але це частина імпульсної відповіді.

Тепер фільтр FIR (Кінцева імпульсна реакція) є кінцевим, оскільки час відгуку імпульсу обмежений математикою. Математично неможливо, щоб час відгуку імпульсу перевищувало кількість дотиків у фільтрі - тому це кінцево .

Фільтр IIR, з іншого боку, не має цього математичного обмеження у часі відгуку імпульсу. Якщо йому надається нескінченна математична точність, фільтр IIR може вічно вимикати виходи. Звичайно, в практичному сенсі це ніколи не триває назавжди, оскільки в якийсь момент хитання стає меншим за точність використовуваної математики і так відходить.

$b_0$$y$$b_0$$z^{-1}$$b_1$$b_1$$b_i$

$z^{-1}$

З іншого боку, фільтри FIR FIR мають лінійний шлях від введення до виходу. Після N зразків вхідний сигнал (як імпульс Дірака) буде зміщений і на цьому закінчився.
Фільтри FIR по суті є стабільними, тоді як IIR-фільтри не обов'язково.

Існує два широких класи цифрових фільтрів, нескінченна імпульсна характеристика (IIR) і кінцева імпульсна відповідь (FIR). Зрештою, фільтри IIR базуються на рівняннях, а фільтри FIR - на основі таблиці.

IIR-фільтри більше схожі на реальні аналогові фільтри. Наприклад, розгляньте простий експоненціальний розпад, як ви отримаєте від аналогового фільтра низьких частот RC. Вихідна відповідь на кроковий вхід - це експоненція, яка стає все ближче до входу. Зауважте, що ця експоненція ніколи насправді не потрапляє на вихід, лише достатньо близько, щоб ми не хвилювались або не могли виміряти помилку. У цьому сенсі такий фільтр є нескінченним. IIR фільтр має ті ж характеристики.

Дуже поширений однополюсний низькопрохідний фільтр IIR може бути виражений як:

FILT <- FILT + FF (NEW - FILT)

Це означає, що кожна ітерація виводить, якщо переміщується фіксований дріб (FF, "фільтрована фракція") відстані до входу. Це легко уявити, коли FF = 1/2. Якщо все дорівнює 0, а вхід раптово переходить на 1 і залишається там (крок одиниці), то вихід буде 1/2, 3/4, 7/8, 15/16 і т. Д. Це нескінченний ряд. Врешті-решт значення наблизиться до 1, що воно виразиться як 1, оскільки цифрові значення в комп'ютері не мають нескінченної точності.

Фільтри FIR працюють за зовсім іншим принципом. Кінцевий недавній фрагмент вхідного сигналу зберігається, і кожне із збережених значень множиться на інший коефіцієнт, а потім додаються всі результати, щоб зробити фільтр для цього ітерації. Наступною ітерацією найстаріше збережене значення відкидається, інші зміщуються на один слот старше, а новий введення вводиться у звільнений слот. Новий збережений фрагмент потім множиться на коефіцієнти тощо. Цей процес відомий як "згортка", а таблицю коефіцієнтів часто називають ядром фільтра. Деякі фантазійні та корисні речі можна зробити за допомогою цього фільтра, поцікавившись коефіцієнтами. Це ціла тема сама по собі, в яку я зараз не заходжу. Однак, оскільки кінцевий фрагмент вводу зберігається в пам'яті, будь-яка частина вхідного сигналу може впливати на вихід лише протягом визначеного часу. Як тільки вхідний зразок зміщується з кінця збереженого фрагмента, він пропав і більше не впливає на вихід.

Про ці речі написано цілі книги, і ви можете провести кілька семестрів курсів коледжу, заглибившись у цю глибшу. Сподіваюсь, мій огляд за 30 секунд демістифікує це досить, щоб відповісти на ваше запитання.

Ще не зазначений момент - це те, що фільтри IIR можуть бути додатково підрозділені на два стилі: той, де етапи можуть бути ранжировані, такий, що кожен етап повністю залежить від його власних попередніх значень і попередніх етапів, і тих, де етапи не можуть бути класифіковані (оскільки два або більше етапів залежать один від одного). Етапи у фільтрі FIR можуть посилатися на попередні результати інших етапів, за умови, що вони можуть бути класифіковані як у попередньому стилі IIR, і жоден етап не посилається на його власний попередній вихід.

Якщо етапи у фільтрі IIR можна класифікувати і якщо загальна величина коефіцієнтів само зворотного зв'язку для даної стадії менша за одиницю, фільтр IIR гарантовано стабільний. Наприклад, якщо етап включає деяку кількість сигналу з попередніх етапів, плюс половину попереднього значення цього етапу і 1/4 значення до цього, мінус 1/8 значення до цього, загальну величину само- зворотний зв'язок становитиме 7/8, тому при відсутності подальших введень на нижчих стадіях величина внеску від само зворотного зв'язку зменшиться на 12,5% за кожну ітерацію.

FIR, робить свою математику на кінцевій кількості елементів, дозволяє сказати 32 або 12 або якесь число, але це те, що робить математика, візьміть кінцеву кількість елементів і виконайте фільтр лише на тих.

IIR робить свою математику на всіх зразках, якими ви його годуєте. Якщо ви годуєте його 10 зразками і зупиняєте його, то він працював на 10 зразках, якщо ви годуєте його 1 000 000 000 проб, тоді математика працювала на 1 000 000 000 зразків. І якщо ви залишите річ працює нескінченно, наближаючись до нескінченності (нехай вона працює назавжди), то кількість елементів також невизначена, що наближається до нескінченності. Оскільки слово скінченне чітко стосується іншої моделі, а модель IIR призначена не мати кінцевої кількості зразків, слово нескінченне як протилежне кінцевому просто звучить краще, ніж невизначене або якесь інше таке слово.