Чому синусоїда віддається перевазі перед іншими формами хвиль?

22

Чому вчені вирішили рухатися з синусоїдою для зображення змінного струму, а не інших форм хвиль, таких як трикутник і квадрат?

Яку перевагу пропонує синус над іншими формами хвиль у поданні струму та напруги?

ac sine

— Новачок91
джерело

32

Ніхто не «обрав» ці форми хвиль, її природне явище в генераторах.

— ПлазмаHH

5

Я пропоную вам ознайомитись з тим, як працюють ці речі: en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator, і якщо ви можете побудувати той, який дає мені трикутник або квадратну хвилю, я хотів би мати одну, будь ласка.

— ПлазмаHH

10

Фур'є зрозумів, що будь-який сигнал / хвиля може бути описаний як ряд накладених синусів.

— HKOB

2

@PlasmaHH Можна створити генератори для інших форм, ніж синус. Подивіться на задній ЕРС BLDC, який є трапецієподібним (у звичайному випадку). Але так, без додаткових зусиль, синусова хвиля - це саме те, що ви легко отримуєте.

— Roland Mieslinger

3

@Plutoniumsmuggler Саме це я і сказав! Ви заявляли, що кожна функція може бути представлена у вигляді ряду Фур'є; Я виправляв це до кожної періодичної функції. (І насправді вам, мабуть, потрібно ще більше обмежитися, включаючи підходяще поняття безперервності та диференційованості.)

— Девід Річербі

52

Круговий рух природним чином створює синусоїду: -

введіть тут опис зображення

Це просто дуже природна і фундаментальна річ, і намагання створити різні форми сигналів або є складнішими, або призводить до небажаних побічних ефектів.

введіть тут опис зображення

Рух вгору і вниз (в природі) виробляє синусоїду проти часу: -

введіть тут опис зображення

— Енді ака
джерело

2

Приємні піккі Енді, правила SHM. (+1)

— JIm Dearden

1

гармонічні коливання FTW

— vaxquis

5

IIRC лише рух пружини знаходиться приблизно за синусоїдою, а наближення добре лише для невеликих прогинів. Але обертовий корпус є саме причиною змінного струму синусоїдальним. + 1`

— Ben Voigt

2

Якщо я можу, я хотів би додати, що оскільки синусоїда є фундаментальною, ви можете побудувати з них інші форми хвиль; Серії та трансформації Фур'є, хтось?

— Сергій Колодяжний

2

Синусоїди також відрізняються тим, що вони диференціюються та інтегруються в інші синусоїди.

— Роман Старков

20

Косинусні і синусоїдальні хвилі (власне їх складові у вигляді складних експоненціалів) - це власні функції лінійних, інваріантних за часом систем, що мають системну відповідь часу Якщо ви будуєте будь-яку мережу з лінійних пасивних компонентів (резисторів, індукторів, конденсаторів на цьому StackExchange) і живите її безперервним синоїдальним сигналом, то будь-яка точка мережі подаватиме безперервний синоїдальний сигнал, можливо, різної фази та величини.

\begin{aligned} f (a (t) + b (t), t_{0}) & = f (a (t), t_{0}) + f (b (t), t_{0}) & linearity \\ f (a (t + h), t_{0}) & = f (a (t), t_{0} + h) & часова інваріантність \end{aligned}

$\begin{align}f\bigl(a(t)+b(t),t_0\bigr)&= f\bigl(a(t),t_0\bigr)+f\bigl(b(t),t_0\bigr)&&\text{linearity}\\ f\bigl(a(t+h),t_0\bigr)&=f\bigl(a(t),t_0+h\bigr)&&\text{time invariance}\end{align}$

Жодна інша форма сигналу, як правило, не збережеться, оскільки відгук буде різним для різних вхідних частот, тому, якщо ви розкладете якийсь вхід в його синоїдальні компоненти унікальної частоти, перевірте індивідуальні відповіді мережі на них і перекомпонуйте отримані синоідальні сигнали, результат, як правило, не матиме таких самих зв'язків між його синоїдними компонентами, як спочатку.

Отже, аналіз Фур'є є досить важливим: пасивні мережі прямо реагують на синоідальні сигнали, тому розкладання всього на синоїди і назад є важливим інструментом для аналізу схеми.

— user66031
джерело

1

Це не круговий аргумент? Якщо ви розклали вхід на якийсь інший компонент (наприклад, трикутникові хвилі), ви отримаєте різні результати.

— Випадково832

9

@ Random832 Ні, синусоїдальний вхід в пасивну мережу RCL завжди дає синусоїдальний вихід (ослаблений і зміщений фази на різну величину залежно від частоти). прямий аналог. Введення трикутника не дає вихід трикутника. Аналіз Фур'є говорить нам, що хвиля трикутника складається з таких амплітуд, частот: a, fa / 3,3f, a / 5,5f і т.д. Якщо ми розкладемо трикутник на ці синусоїди і проаналізуємо їх окремо, ми можемо їх скласти разом і подивіться, яку форму хвилі буде виробляти схема.

— Рівень річки Св.

1

@ Random832 Якщо ви спробуєте проаналізувати вхід та вихід системи RCL з трикутними хвилями, наприклад, ви знайдете нелінійну відповідь. За допомогою синусоїд / косинусоїд ви отримуєте лінійну відповідь, що важливо.

— Арон

@Aron: З цим пов’язаний той факт, що додавання разом двох синусоїд з однаковою частотою, але фаза, яка відрізняється на величину менше 180 градусів, дасть одну синусоїду тієї ж частоти і проміжну фазу. Однак, якщо додати два сигнали, що відповідають різній частоті, що відповідають різній частоті фази більшості інших видів хвиль, то вийде форма хвилі, не схожа на оригінал.

— supercat

14

Речі коливаються відповідно до синусу та косинусу. Механічні, електричні, акустичні, ви їх називаєте. Повісьте масу на пружину, і вона буде підстрибувати вгору і вниз на її резонансній частоті відповідно до функції синуса. Схема контуру ЖК буде вести себе так само, тільки зі струмами та напругами замість швидкості та сили.

Синусоїда складається з одного частотного компонента, і інші форми хвиль можуть бути створені з додавання декількох різних синусоїд. Ви можете бачити частотні компоненти сигналу, дивлячись на нього на спектральному аналізаторі. Оскільки аналізатор спектра змітає вузький фільтр по частотному діапазону, який ви дивитесь, ви побачите пік на кожній частоті, яку містить сигнал. Для синусоїди ви побачите 1 вершину. Для квадратної хвилі ви побачите вершини af, 3f, 5f, 7f тощо.

Синус і косинус - це також проекція речей, які обертаються. Візьмімо, наприклад, генератор змінного струму. Генератор змінного струму обертає магніт поруч із котушкою дроту. Коли магніт обертається, поле, яке наштовхується на котушку завдяки магніту, буде змінюватися залежно від синуса кута вала, генеруючи напругу на котушці, яке також пропорційно синусоїді.

— alex.forencich
джерело

Дякую @ alex.forencich, тому синус і косинус в основних діях навколо нас.

— Rookie91

1

Можливо, ви могли б включити у свою відповідь, що хвилі високої частоти, як правило, небажані , оскільки це призводить до більш ємних та індуктивних втрат, а також до більшого шуму (оскільки більше високих частот), який потрібно відфільтрувати джерелами живлення (наприклад, у налаштуваннях привіт-fi).

— Санчіз

1

Як зауваження: синус і косинус є настільки фундаментальними, оскільки вони природним чином з'являються в диференціальних рівняннях, і багато граней Всесвіту добре моделюються диференціальними рівняннями (включаючи E&M, пружини тощо)

— Корт Аммон - Відновлення Моніки

по другому моменту - поняття частотних компонентів (проти періодичності) насправді має сенс лише тоді, коли ви починаєте з ортогонального набору сигналів використовувати в якості еталону - я думаю, що синусоїда може розглядатися з різними частотними компонентами трикутних хвиль - Синусоїда там особлива завдяки властивостям лінійності, так що ми можемо розкласти сигнал на синуси та застосувати його до пасивної мережі (лінійна система)

— user3125280

1

Тільки тому, що ви можете розкласти форму хвилі на набір іншої форми хвилі, це не означає, що ця інша форма хвилі є якось більш "фундаментальною". Звичайно, можна розкласти синусоїди в щось інше. Однак електронні схеми поводяться в умовах коливань і синусоїд. Якщо ви побудуєте фільтр низьких частот 100 Гц і покладете в нього квадратну хвилю 50 Гц, з іншого боку ви отримаєте синусою 50 Гц. Не квадратна хвиля чи трикутна хвиля. Ось чому синусоїди є основними.

— alex.forencich

9

Що стосується більш математичного та фізичного сенсу, чому синус і косинус є основою хвиль можуть мати своє коріння в теоремі Піфагора та обчисленні.

Теорема Піфагора подарувала нам цей дорогоцінний камінь із синусами та косинусами:

{с i н}^{2} (т) + {c о с}^{2} (т) = 1, т \in R

$\mathrm{sin}^2(t) + \mathrm{cos}^2(t) = 1, t \in \mathbb{R}$

Це призвело до того, що синуси та косинуси скасовують один одного у законах зворотного квадрата, що розкидаються по всьому світу фізики.

І з обчисленням у нас є таке:

\frac{г}{г х} с i н х = c о с х

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sin}x = \mathrm{cos}x$

\frac{г}{г х} c о с х = - с i н х

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{cos}x = -\mathrm{sin}x$

Це означає, що будь-яка форма обчислення може зберегти синуси і косинуси, якщо існує ідеально один з них.

Наприклад, коли ми вирішуємо миттєве положення об'єкта в законі Гука (подібна форма теж скрізь), ми маємо це:

- к х = Ж = м \frac{г^{2}}{г т^{2}} х

$-kx = F = m\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}x$

$x=\mathrm{sin}(t)$

— Макшон Чан
джерело

+0.(9); Крім того, IMO варто відзначити, що для вирішення більшості часто використовуваних диференціальних рівнянь (хвильові рівняння, струнні рівняння, рівняння рідини) потрібна x=e^(lambda*t)підміна, що згодом створює рішення, яке може бути перетворене у x = A*sin(lambda*t) + B*cos(lambda*t)форму, по суті змушує розширення синуса / косинуса в рішеннях таких рівнянь.

— vaxquis

x = A s i n (λ t) + B c o s (λ t)

$x=A\mathrm{sin}(\lambda t)+B\mathrm{cos}(\lambda t)$

x = f (s i n (g (t)))

$x=f(\mathrm{sin}(g(t)))$

так, саме. Вони також можуть бути виражені косинусом; Я щойно зазначив, що оскільки ІМО чітко показує, що всі три форми (синус, косинус, синус + косинус) рівнозначні і, власне, використовуються взаємозамінно, залежно від потреб та контексту, як це видно, наприклад, на en.wikipedia .org / wiki / Harmonic_oscillator або en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation .

— vaxquis

9

Вчені не вибрали синусоїду, ось що вони отримали від генератора змінного струму. У генераторі змінного струму синусова хвиля генерується за рахунок руху ротора всередині магнітного поля. Немає простого способу зробити це інакше. Дивіться цю цифру у Вікіпедії. http://en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator#Revolving_armature

— obaej
джерело

3

Синусоїди містять лише одну частоту. Квадратна або трикутна хвиля - це сума нескінченної кількості синусоїд, що є гармоніками основної частоти.

Похідна від ідеальної квадратної хвилі (має нульовий час підйому / падіння) нескінченна, коли вона змінюється від низької до високої або навпаки. Похідна від ідеальної трикутної хвилі нескінченна вгорі і внизу.

Одним із практичних наслідків цього є те, що важче передати сигнал квадратний / трикутник, скажімо, по кабелю порівняно з сигналом, який є лише синусоїдою.

Іншим наслідком є те, що квадратна хвиля має тенденцію генерувати набагато більше випромінюваного шуму порівняно з синусоїдою. Оскільки в ній багато гармонік, ці гармоніки можуть випромінювати. Типовим прикладом є годинник на SDRAM на друкованій платі. Якщо не буде прокладено обережно, це створить багато випромінюваних викидів. Це може спричинити збої в тестуванні ЕМС.

Синусоїда також може випромінювати, але тоді випромінюватиметься тільки синусоїдальна частота.

— Рейдар Джерстад
джерело

Ви можете стверджувати, що квадратні хвилі містять лише одну частоту. Синусова хвиля - це сума нескінченної кількості квадратних хвиль.

— jinawee

@jinawee Можна, але є й інші речі, які роблять синусоїди «фундаментальним» типом хвилі. Наприклад, це єдиний, який диференціюється в себе (без уваги зсув фази). Хоча фізичне пояснення коливальних пружинних систем - це те, що мені найбільше подобається.

— Роман Старков

@jinawee, чи докажеш це, будь ласка?

— Ерік Бест

@EricBest Я не знаю доказів, але я мав на увазі функції Уолша en.wikipedia.org/wiki/Walsh_function, які є основою Гільберта на проміжку [0,1]. Звичайно, можуть виникнути деякі підтети, такі як рівність до набору мір нуля або подібних матеріалів.

— jinawee

@jinawee: Поміщення однієї синусоїди через лінійну систему дасть або одну синусоїду з однаковою частотою, або постійний (що може розглядатися як одна синусова хвиля тієї ж частоти, але нульовою амплітудою). Проведення суми синусоїд через таку систему дасть той самий результат, що і кожну хвилю окремо, і додавання результатів. Поєднання цих двох властивостей є унікальним для синусоїд.

— supercat

3

Перш за все, синусоїдальні і косинусові функції рівномірно безперервні (тому ніде в їхній області немає розривних точок) і нескінченно диференційовані на всій лінії Реала. Вони також легко обчислюються за допомогою розширення серії Тейлора.

Ці властивості особливо корисні при визначенні розширення періодичних функцій серії Фур'є на реальній лінії. Отже, несинусоїдальні форми хвиль, такі як квадратна, пилоподібна і трикутна хвилі, можуть бути представлені як нескінченна сума синусоїдальних функцій. Ерго, синусова хвиля є основою гармонійного аналізу і є найбільш математично простою формою хвилі для опису.

— LapToppin
джерело

2

Ми завжди любимо працювати з лінійними математичними моделями фізичних реалій через це простоту роботи. Синусоїдальні функції - це "власні функції" лінійних систем.

$\sin(t)$
$A\cdot\sin(t + \phi)$

Функція залишається такою ж і лише масштабується за амплітудою і зміщується в часі. Це дає нам гарне уявлення про те, що відбувається з сигналом, якщо він поширюється через систему.

— Аксель Ванраес
джерело

Дякую @Axel Vanraes за ваш цінний внесок. Я дуже ціную це.

— Rookie91

0

Синус / Косинус - це рішення лінійних диференціальних рівнянь другого порядку.

sin '= cos, cos' = - гріх

Основні електронні елементи як індуктори та конденсатори виробляють або інтеграцію диференціації струму на напругу.

Розкладаючи довільні сигнали на синусоїди, диференціальні рівняння можна легко проаналізувати.

— TEMLIB
джерело

0

Одним із способів поглянути на це в двох словах, є те, що гармонічний ряд синусоїдальних і косинусних функцій утворює ортогональну основу лінійного векторного простору реально значущих функцій на обмеженому часовому інтервалі. Таким чином, функція на часовому інтервалі може бути представлена як лінійна комбінація гармонічно пов'язаних функцій синуса і косинуса.

Звичайно, ви можете використовувати якийсь інший набір функцій (наприклад, вейвлет) до тих пір, поки вони формують дійсний базовий набір, і таким чином розкладати цікаву функцію. Іноді такі розклади можуть бути корисними, але поки що ми знаємо лише спеціалізовані програми для них.

Беручи геометричну аналогію: для опису компонентів вектора можна скористатись неортогональною основою. Наприклад, вектор в ортонормальній основі може містити компоненти [1,8,-4]. У деяких інших, неортонормічних засадах, він може мати компоненти [21,-43,12]. Чи буде цей набір компонентів простішим чи складніше інтерпретувати, ніж звичайна ортонормальна основа, залежить від того, що ви намагаєтеся зробити.

— Відновіть Моніку
джерело

-3

менші втрати
менша кількість гармонік
відсутність втручання в лінію зв'язку
дуже менший дистрозійний ефект
машини запускають свою ефективність
дуже мало перехідної поведінки у випадку L і C

— pradeep maurya
джерело