Чому вчені вирішили рухатися з синусоїдою для зображення змінного струму, а не інших форм хвиль, таких як трикутник і квадрат?
Яку перевагу пропонує синус над іншими формами хвиль у поданні струму та напруги?
Чому вчені вирішили рухатися з синусоїдою для зображення змінного струму, а не інших форм хвиль, таких як трикутник і квадрат?
Яку перевагу пропонує синус над іншими формами хвиль у поданні струму та напруги?
Відповіді:
Круговий рух природним чином створює синусоїду: -
Це просто дуже природна і фундаментальна річ, і намагання створити різні форми сигналів або є складнішими, або призводить до небажаних побічних ефектів.
Рух вгору і вниз (в природі) виробляє синусоїду проти часу: -
Косинусні і синусоїдальні хвилі (власне їх складові у вигляді складних експоненціалів) - це власні функції лінійних, інваріантних за часом систем, що мають системну відповідь часу ( Якщо ви будуєте будь-яку мережу з лінійних пасивних компонентів (резисторів, індукторів, конденсаторів на цьому StackExchange) і живите її безперервним синоїдальним сигналом, то будь-яка точка мережі подаватиме безперервний синоїдальний сигнал, можливо, різної фази та величини.
Жодна інша форма сигналу, як правило, не збережеться, оскільки відгук буде різним для різних вхідних частот, тому, якщо ви розкладете якийсь вхід в його синоїдальні компоненти унікальної частоти, перевірте індивідуальні відповіді мережі на них і перекомпонуйте отримані синоідальні сигнали, результат, як правило, не матиме таких самих зв'язків між його синоїдними компонентами, як спочатку.
Отже, аналіз Фур'є є досить важливим: пасивні мережі прямо реагують на синоідальні сигнали, тому розкладання всього на синоїди і назад є важливим інструментом для аналізу схеми.
Речі коливаються відповідно до синусу та косинусу. Механічні, електричні, акустичні, ви їх називаєте. Повісьте масу на пружину, і вона буде підстрибувати вгору і вниз на її резонансній частоті відповідно до функції синуса. Схема контуру ЖК буде вести себе так само, тільки зі струмами та напругами замість швидкості та сили.
Синусоїда складається з одного частотного компонента, і інші форми хвиль можуть бути створені з додавання декількох різних синусоїд. Ви можете бачити частотні компоненти сигналу, дивлячись на нього на спектральному аналізаторі. Оскільки аналізатор спектра змітає вузький фільтр по частотному діапазону, який ви дивитесь, ви побачите пік на кожній частоті, яку містить сигнал. Для синусоїди ви побачите 1 вершину. Для квадратної хвилі ви побачите вершини af, 3f, 5f, 7f тощо.
Синус і косинус - це також проекція речей, які обертаються. Візьмімо, наприклад, генератор змінного струму. Генератор змінного струму обертає магніт поруч із котушкою дроту. Коли магніт обертається, поле, яке наштовхується на котушку завдяки магніту, буде змінюватися залежно від синуса кута вала, генеруючи напругу на котушці, яке також пропорційно синусоїді.
Що стосується більш математичного та фізичного сенсу, чому синус і косинус є основою хвиль можуть мати своє коріння в теоремі Піфагора та обчисленні.
Теорема Піфагора подарувала нам цей дорогоцінний камінь із синусами та косинусами:
Це призвело до того, що синуси та косинуси скасовують один одного у законах зворотного квадрата, що розкидаються по всьому світу фізики.
І з обчисленням у нас є таке:
Це означає, що будь-яка форма обчислення може зберегти синуси і косинуси, якщо існує ідеально один з них.
Наприклад, коли ми вирішуємо миттєве положення об'єкта в законі Гука (подібна форма теж скрізь), ми маємо це:
+0.(9)
; Крім того, IMO варто відзначити, що для вирішення більшості часто використовуваних диференціальних рівнянь (хвильові рівняння, струнні рівняння, рівняння рідини) потрібна x=e^(lambda*t)
підміна, що згодом створює рішення, яке може бути перетворене у x = A*sin(lambda*t) + B*cos(lambda*t)
форму, по суті змушує розширення синуса / косинуса в рішеннях таких рівнянь.
Вчені не вибрали синусоїду, ось що вони отримали від генератора змінного струму. У генераторі змінного струму синусова хвиля генерується за рахунок руху ротора всередині магнітного поля. Немає простого способу зробити це інакше. Дивіться цю цифру у Вікіпедії. http://en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator#Revolving_armature
Синусоїди містять лише одну частоту. Квадратна або трикутна хвиля - це сума нескінченної кількості синусоїд, що є гармоніками основної частоти.
Похідна від ідеальної квадратної хвилі (має нульовий час підйому / падіння) нескінченна, коли вона змінюється від низької до високої або навпаки. Похідна від ідеальної трикутної хвилі нескінченна вгорі і внизу.
Одним із практичних наслідків цього є те, що важче передати сигнал квадратний / трикутник, скажімо, по кабелю порівняно з сигналом, який є лише синусоїдою.
Іншим наслідком є те, що квадратна хвиля має тенденцію генерувати набагато більше випромінюваного шуму порівняно з синусоїдою. Оскільки в ній багато гармонік, ці гармоніки можуть випромінювати. Типовим прикладом є годинник на SDRAM на друкованій платі. Якщо не буде прокладено обережно, це створить багато випромінюваних викидів. Це може спричинити збої в тестуванні ЕМС.
Синусоїда також може випромінювати, але тоді випромінюватиметься тільки синусоїдальна частота.
Перш за все, синусоїдальні і косинусові функції рівномірно безперервні (тому ніде в їхній області немає розривних точок) і нескінченно диференційовані на всій лінії Реала. Вони також легко обчислюються за допомогою розширення серії Тейлора.
Ці властивості особливо корисні при визначенні розширення періодичних функцій серії Фур'є на реальній лінії. Отже, несинусоїдальні форми хвиль, такі як квадратна, пилоподібна і трикутна хвилі, можуть бути представлені як нескінченна сума синусоїдальних функцій. Ерго, синусова хвиля є основою гармонійного аналізу і є найбільш математично простою формою хвилі для опису.
Ми завжди любимо працювати з лінійними математичними моделями фізичних реалій через це простоту роботи. Синусоїдальні функції - це "власні функції" лінійних систем.
Функція залишається такою ж і лише масштабується за амплітудою і зміщується в часі. Це дає нам гарне уявлення про те, що відбувається з сигналом, якщо він поширюється через систему.
Синус / Косинус - це рішення лінійних диференціальних рівнянь другого порядку.
sin '= cos, cos' = - гріх
Основні електронні елементи як індуктори та конденсатори виробляють або інтеграцію диференціації струму на напругу.
Розкладаючи довільні сигнали на синусоїди, диференціальні рівняння можна легко проаналізувати.
Одним із способів поглянути на це в двох словах, є те, що гармонічний ряд синусоїдальних і косинусних функцій утворює ортогональну основу лінійного векторного простору реально значущих функцій на обмеженому часовому інтервалі. Таким чином, функція на часовому інтервалі може бути представлена як лінійна комбінація гармонічно пов'язаних функцій синуса і косинуса.
Звичайно, ви можете використовувати якийсь інший набір функцій (наприклад, вейвлет) до тих пір, поки вони формують дійсний базовий набір, і таким чином розкладати цікаву функцію. Іноді такі розклади можуть бути корисними, але поки що ми знаємо лише спеціалізовані програми для них.
Беручи геометричну аналогію: для опису компонентів вектора можна скористатись неортогональною основою. Наприклад, вектор в ортонормальній основі може містити компоненти [1,8,-4]
. У деяких інших, неортонормічних засадах, він може мати компоненти [21,-43,12]
. Чи буде цей набір компонентів простішим чи складніше інтерпретувати, ніж звичайна ортонормальна основа, залежить від того, що ви намагаєтеся зробити.