Негативні частоти: що це?

Я знаю, що коли частота дорівнює 0, напруга буде чистим постійним струмом. Але в DSP та цифровій комунікації я бачив згадування про негативні частоти, які я не дуже розумію. Наприклад, наприклад від до діапазон частот. Як частота може стати негативною? f $-f_{0}$$f_{0}$

Виведення

$cos(\omega t) = \frac{1}{2} \left(e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}\right)$

все дуже приємно і таке (спасибі, Марку), але це не дуже інтуїтивно.
Синус може бути представлений у складній площині у вигляді обертового вектора:

Ви можете бачити, як вектор складається з реальної та уявної частини. Але те, що ви бачите, дивлячись сигнал на вашій області дії, - це справжній сигнал, тож як можна позбутися від уявної частини, такої, що вектор залишається на осі x, збільшуючись і зменшуючись? Рішення полягає в тому, щоб додати дзеркальне зображення обертового вектора, що обертається за годинниковою стрілкою, а не проти годинникової стрілки.

Уявні частини мають однакову величину, але протилежні знаки, тому при додаванні обох векторів уявні частини скасовують одна одну, залишаючи чисто реальний сигнал.
Якщо обертання проти годинникової стрілки означає позитивну частоту, обертання за годинниковою стрілкою має означати негативну частоту.

Це не може насправді.

Повна відповідь потребує цілої книги, але основна відповідь:

$e^{j\omega t}$

Це призводить до формули Ейлера:

$e^{j\omega t} = cos(wt) + j \cdot sin(\omega t)$

Що призводить до його зворотного:

$cos(\omega t) = \frac{1}{2} \cdot (e^{j\omega t} + e^{-j\omega t})$

З чого випливає, що присутні як позитивна, так і негативна частота, і саме там вона з’являється в дискусії по обробці сигналів.

Я бачу це:

$e^{i\omega t}$

Він також може бути намальований менш інтуїтивно, як це (ліва сторона), і має однобічний спектр, як цей (права сторона):

Негативна частота просто означає, що спіраль обертається протилежно, а спектр - це дельта-функція на негативній стороні осі частоти.

Якщо додати складний синусоїд позитивної частоти з однією і тією ж, але негативною частотою, зустрічні обертові уявні частини скасовуються, і це створює справжню синусоїду.

У цьому випадку безглуздо говорити про синусоїду з негативною частотою, оскільки синусоїда містить як позитивні, так і негативні частоти.

(Я б дуже хотів зробити це кращими ілюстраціями замість того, щоб копіювати ці старі неякісні, але я спробував, і це непросто. Я думаю, що 3D-діаграма вищевказаних спектрів насправді неправильна. Дельта функції повинні бути паралельними реальній / уявній площині та перпендикулярні до осі частоти.)