Поляки та Боде Сюжети

У мене є три питання, які мене тривалий час хвилюють:

1. Ми говоримо, що в сюжеті Боде спостерігається падіння коефіцієнта посилення на 20 дБ на десятиліття щоразу, коли виникає полюс. Але чи не полюси визначені як значення які роблять функцію передачі нескінченною? То чому ж прибуток не піднімається в цей момент, а не знижується?$s$

2. Фізично що відбувається, коли ми подаємо систему з полюсною частотою?

3. Також розглянемо функцію передачі . Система має полюс при . Тобто для полюса і . Але коли ми застосовуємо синусоїдальний сигнал до його входу і малюємо графік Боде, чому ми говоримо, що є полюс при 2 рад / сек (хоча для полюса і \ sigma = -2 )?s = ( - 2 + j 0 ) σ = - 2 ω = 0 ω = 0 σ = - $1/(s+2)$$s=(-2+j0)$$\sigma=-2$$\omega=0$$\omega=0$$\sigma =-2$

Діаграма Bode не є графіком, який будує функцію передачі ( ) проти s . H ( s ) - це складна функція, і її масштабний графік фактично являє собою поверхню декартової системи координат. І ця поверхня матиме піки, що йдуть у нескінченність на кожному полюсі, як показано на малюнку:$H(s)$$s$$H(s)$

Діаграма Боде виходить, спочатку замінивши в H ( s ), а потім представляючи його в полярній формі H ( j ω ) = | Н ( ω ) | ∠ ϕ ( ω ) . H ( ω ) дає графік величини bode, а ϕ ( ω ) - фазовий графік.$s= j\omega$$H(s)$$H(j\omega) = |H(\omega)|\angle\phi(\omega)$$H(\omega)$$\phi(\omega)$

Графік величини Боди - це асимптотичне наближення величини функції передачі ( ) до логарифму частоти в радіанах / с ( log 10 | ω | ) з | Н ( с ) | (виражено в дБ) на осі y та log 10 | ω | на осі x.$|H(\omega)|$$\log_{10}|\omega|$$|H(s)|$$\log_{10}|\omega|$

Переходимо до питань:

1. На полюсах складна поверхня піки до нескінченності не | Н ( ω ) | .$|H(s)|$$|H(\omega)|$

2. Коли система подається з полюсною частотою, то вихідний співспонсор матиме однакову частоту, але амплітуда і фаза будуть змінюватися. Значення можна визначити, замінивши частоту в радіанах / сек в і ϕ ( ω ) відповідно.$|H(\omega)|$$\phi(\omega)$

3. Полюс при -2 рад / с і 2 рад / с мають однаковий вплив на . І наш інтерес полягає в частотній характеристиці. Тож нам потрібна лише позитивна його частина.$|H(\omega)|$

Коли я намагаюся зрозуміти функції передачі, я думаю, що "аналогія гумових листів" дуже корисна. Уявіть собі еластичний гумовий лист, що покриває складну площину, і уявіть, що на кожному нулі функції передачі лист приклеюється до землі, а на кожному полюсі є буквальний тонкий полюс, що підштовхує гумовий лист вгору. Величина частотного сигналу - це висота гумового листа вздовж осі j ω .$s$$j\omega$

1. З вищенаведеної аналогії, звичайно, виграш іде в бік полюса. Але, віддаляючись від полюса, внесок полюса змушує передачу функції знижуватися (наприклад, рухаючись до наступного нуля). Уявіть просту систему, яку ви подали як приклад у своєму третьому запитанні. Він має дійсний значення полюса при , і - завдяки цьому полюсу - він також має нуль при s 0 = ∞ . Таким чином, віддаляючись від полюса зі збільшенням частоти, функція передачі знижується, тому що гумовий лист прилягає до землі нескінченно. Математично це також легко помітити: H ( s ) = $s_{\infty}=-2$$s_0=\infty$ У децибелах отримуємо 10log10| H(jω)| 2=-10log10(4)-10log10[(

   $$H(s)=\frac{1}{s+2}\Longrightarrow \left|H(j\omega)\right|^2=\frac{1}{\omega^2+4}=\frac14\frac{1}{\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1}$$ Дляω≫2другий член у правій частині (1) можна наблизити до -10log10( $$10\log_{10}\left|H(j\omega)\right|^2=-10\log_{10}(4)-10\log_{10}\left[\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1\right]\tag{1}$$ $\omega\gg 2$ яка є прямою лінією з нахилом- $$-10\log_{10}\left(\frac{\omega}{2}\right)^2=-20\log_{10}(\omega/2)$$ на десятиліття.$-20\,\text{dB}$

2. $H(s)=\frac{1}{s+2}$$x(t)=e^{-2t}$, тоді вихід буде $y(t)=te^{-2t}$, де фактор $t$відповідає "посиленню" вхідного сигналу системи. Однак експоненціальний фактор зробить сигнальний підхід$0$ для великих значень $t$.

3. Коротше кажучи, ми не кажемо, що тут є полюс $2$rad / s, тому що немає. Дійсно так, що частота відсічення визначається реальною частиною полюса, тобто початкова точка лінії з негативним нахилом у графіці Боде визначається значенням$2$. Це приклад, який я наводив у пункті 1 вище, де наближення прямої лінії с$-20$ дБ на десятиліття справедливо для $\omega\gg 2$. Значення$2$ визначається не полюсною частотою (яка дорівнює нулю), а реальною частиною полюса.

На графіку показана різниця між природною частотою в комплексі $s$-площина (нескінченна) і відповідний пік величини вздовж $j\omega$ вісь, яку можна спостерігати під час вимірювань: Графік належить до природної частоти $\omega_p=1000$ rad / s та коефіцієнт якості полюса $Q_p=1.3$(що є показником максимального спостережуваного посилення). Цей сюжет візуалізує характеристики Чебишева 2-го порядку з пульсацією 3 дБ в смузі пропускання.

"S" у ваших рівняннях - константа у функції exp (s * t). Отже, коли s - дійсне число, ця функція часу є функцією експоненціально зростаючої чи спадаючої. Ваш приклад з s = -2 - це експоненціально падаюча функція. Для будь-якого полюсного "числа", вихід буде зростати, коли ви застосуєте вхід до цього "числа". Якщо ви застосуєте сигнал експоненціально падаючого до вашої прикладної схеми, вихідний сигнал перейде до нескінченності. (Однак зауважте, що неможливо генерувати сигнал, який завжди експоненціально падає, оскільки такий сигнал часом дуже великий). Коли ви говорите про частоти, як 2 радіани / сек, ви говорите про полюси на j * 2, а не на 2, тому ці сигнали є синусоїдальними. Можна генерувати сигнали, які є синусоїдами (принаймні досить тривалий час).