11

Так, це педагогічне питання. Відповідаючи на ще одне нещодавнє запитання, я хотів передати ОП стислі вказівки щодо використання суперпозиції для вирішення схем. Я виявив, що всі легко знайдені ресурси в Інтернеті були дефіцитними. Зазвичай їм було незрозуміло щодо того, до яких типів схем застосовується суперпозиція, чи про власне спосіб застосувати теорему суперпозиції до задачі ланцюга. Тому,

Які схеми можна вирішити суперпозицією?

Як трактуються різні види джерел при вирішенні суперпозиції?

Які кроки для розв’язання ланцюга за допомогою теореми про суперпозицію?

circuit-analysis

— Фотон
джерело

Оскільки це має бути місце, на яке можна вказати, як щодо відповіді на вікі спільноти, щоб її можна було змінити для цієї мети?

— печерний чоловік

10

Поєднання теореми
" теорема суперпозиції для електричних ланцюгів станів , що для лінійної системи відгуку (напруга або струму) в будь-якій галузі двосторонній лінійного ланцюга , що має більше одного незалежного джерела дорівнює алгебраїчна сума відповідей , викликаних кожен незалежне джерело , діючи в поодинці , де всі інші незалежні джерела замінюються їх внутрішніми опорами ".

Які схеми можна вирішити суперпозицією?

Схеми, виготовлені з будь-якого з наступних компонентів, можна вирішити за допомогою теореми про суперпозицію

Незалежні джерела
Лінійні пасивні елементи - резистор, конденсатор та індуктор
Трансформатор
Лінійно залежні джерела

Які кроки для розв’язання ланцюга за допомогою теореми про суперпозицію?

Дотримуйтесь алгоритм:

Відповідь = 0;
Виберіть перше незалежне джерело.
Замініть всі незалежні джерела в оригінальній схемі, крім вибраного джерела, на його внутрішній опір.
Обчисліть кількість (напруга чи струм), що цікавить, і додайте до відповіді.
Вийдіть, якщо це було остаточне незалежне джерело. Перейдіть до кроку 3 з вибором наступного джерела.

Внутрішній опір джерела напруги дорівнює нулю, а джерело струму - нескінченність. Тому замініть джерело напруги на коротке замикання та джерело струму на розімкнутий ланцюг, виконуючи крок 3 у наведеному вище алгоритмі.

Як трактуються різні види джерел при вирішенні суперпозиції?

До незалежних джерел слід ставитися як пояснено вище.

У випадку залежних джерел не торкайтеся їх.

— нідхін
джерело

5

Суперпозиція застосовується лише тоді, коли у вас суто лінійна система, тобто:

\begin{aligned} F (x_{1} + x_{2}) & = F (x_{1}) + F (x_{2}) \\ F (a x) & = a F (x) \end{aligned}

$\begin{align*} F(x_1 + x_2) &= F(x_1) + F(x_2)\\ F(a x) &= a F(x) \end{align*}$

У контексті аналізу ланцюга схема повинна складатися з лінійних елементів (конденсаторів, індукторів, лінійних трансформаторів та резисторів) з N незалежними джерелами, і те, що ви вирішуєте, має бути або напругами, або струмами. Зауважте, що ви можете прийняти накладене рішення напруги / струму, щоб знайти інші величини, які не є лінійними (колишня потужність, розсіяна в резисторі), але ви не можете накладати (додавати) нелінійні величини, щоб знайти рішення для більшої система.

$i$

\begin{aligned} U = J R = R (\sum_{i = 1}^{N} J_{i}) = \sum_{i = 1}^{N} R J_{i} = \sum_{i = 1}^{N} U_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} U = J R = R \left(\sum_{i=1}^N J_i\right) = \sum_{i=1}^N R J_i = \sum_{i=1}^N U_i \end{align*}$

Тож я можу знайти напругу на резисторі, підсумовуючи поточний внесок від кожного джерела, незалежного від будь-якого іншого джерела. Аналогічно знайти струм, що протікає через резистор:

\begin{aligned} J = \frac{U}{R} = \frac{1}{R} \sum_{i = 1}^{N} U_{i} = \sum_{i = 1}^{N} \frac{U_{i}}{R} = \sum_{i = 1}^{N} J_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} J = \frac{U}{R} = \frac{1}{R} \sum_{i=1}^N U_i = \sum_{i=1}^N \frac{U_i}{R} = \sum_{i=1}^N J_i \end{align*}$

Однак якщо я почав дивитися на силу, суперпозиція більше не застосовується:

\begin{aligned} P = J U = (\sum_{i = 1}^{N} J_{i}) (\sum_{j = 1}^{N} U_{j}) \neq \sum_{i = 1}^{N} J_{i} U_{i} = \sum_{i = 1}^{N} P_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} P = J U = \left(\sum_{i=1}^N J_i\right) \left(\sum_{j=1}^N U_j\right) \neq \sum_{i=1}^N J_i U_i = \sum_{i=1}^N P_i \end{align*}$

Загальний процес розв’язання ланцюга за допомогою суперпозиції:

$i$ $F_i$
$F_i$

Приклад 1

Візьміть цю схему з двох джерел:

схематичний

^{імітувати цю схему - Схематично створено за допомогою CircuitLab}

Я хочу вирішити для струму J, що протікає через R1.

Виберіть V1 як джерело 1, а I1 як джерело 2.

$J_1$

схематичний

^{моделювати цю схему}

$J_1 = 0$

$J_2$

схематичний

^{моделювати цю схему}

$J_2 = I_1$

\begin{aligned} J = J_{1} + J_{2} = 0 + I_{1} = I_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \end{align*}$

Приклад 2

схематичний

^{моделювати цю схему}

$J$

\begin{aligned} J_{1} & = - \frac{V_{1}}{R_{1} + R_{2} + R_{5} + R_{4}} \\ J_{2} & = \frac{V_{2}}{R_{2} + R_{1} + R_{4} + R_{5}} \\ J_{3} & = - I_{1} \frac{R_{2} + R_{5}}{R_{1} + R_{4} + R_{2} + R_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J_1 &= -\frac{V_1}{R_1 + R_2 + R_5 + R_4}\\ J_2 &= \frac{V_2}{R_2 + R_1 + R_4 + R_5}\\ J_3 &= -I_1 \frac{R_2 + R_5}{R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \end{align*}$

\begin{aligned} J & = J_{1} + J_{2} + J_{3} = \frac{V_{2} - V_{1}}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} - I_{1} \frac{R_{2} + R_{5}}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} = \frac{(V_{2} - V_{1}) - I_{1} (R_{2} + R_{5})}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J &= J_1 + J_2 + J_3 = \frac{V_2 - V_1}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} - I_1 \frac{R_2 + R_5}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \frac{(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \end{align*}$

Сила суперпозиції походить від запитання "а що, якщо я хочу додати / видалити джерело?" Скажіть, я хочу додати джерело струму I2:

схематичний

^{моделювати цю схему}

\begin{aligned} J_{4} & = I_{2} \frac{R_{1} + R_{2} + R_{5}}{R_{1} + R_{2} + R_{5} + R_{4}} \\ J & = \sum_{i = 1}^{4} J_{i} = \frac{(V_{2} - V_{1}) - I_{1} (R_{2} + R_{5}) + I_{2} (R_{1} + R_{2} + R_{5})}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J_4 &= I_2 \frac{R_1 + R_2 + R_5}{R_1 + R_2 + R_5 + R_4}\\ J &= \sum_{i=1}^4 J_i = \frac{(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \end{align*}$

— helloworld922
джерело

У мене є кілька коментарів, які, сподіваюся, будуть корисними: 1. Я вважаю, що використання U і J дещо плутає, V і я краще; 2. Перше рівняння для U не повинно бути підсумовуванням, як тільки для i-го джерела; 3. Інші підсумки, я вважаю, слід брати від i = 1 до N, а не від i до N; 4. Суперпозиція в теорії схем використовується тільки для струму і напруги, тому я б перемістив обговорення потужності пізніше в тексті; 5. У прикладі, що слідує за простим I1 та R1, чи не повинен J3 = -I1 (...), оскільки I1 діє у зворотному напрямку до J3?

— Чу

I_{3} = I_{1} \cdot (blah)

$I_3 = I_1 \cdot (\textrm{blah})$

Як використовувати суперпозицію для вирішення ланцюга?

Приклад 1

Приклад 2