Аналіз Twin-T Active Notch Filter

12

Чи міг би хтось підказати мені під час аналізу фільтра Twin-T Active Notch? Я спробував перетворення дельта-зірки з подальшим вузловим аналізом, але закінчився суперечливими рівняннями. Для прикладу подивіться на малюнок 1 із примітки програми Texas Instruments " Колекція аудіосхем, частина 2 ":

введіть тут опис зображення

У більш загальному прикладі, який я вивчаю, я видаляю C4 / C5 і R6 / R7 (і цей Vcc) і трактую Т пасивні компоненти як відповідні проводимості наступним чином:

R1 і R2 стають Y1, R3 стає 2Y1, C1 і C2 стають Y2, C3 стає загальним роздільником напруги 2Y2, R4 і R5 з опорами R1 і R2

audio operational-amplifier filter

— Джордж
джерело

Це звучить як питання, яке, на думку dsp.stackexchange.com, повинно бути тематичним там. Що думають інші?

— Kellenjb

@Kellenjb - Тут теж є тематика, але там можна отримати кращу відповідь. Якщо хлопці з ОП або з ДСП хочуть, щоб він мігрував, ми можемо це зробити - це, безумовно, може мати справу з трохи більшою увагою. Крім того, складіть схему та завантажте зображення, щоб зіткнути це на головній сторінці, де воно повинно привернути більше уваги .... не впевнене, як його пропустили вперше.

— Кевін Вермер

6

Трансформацію Delta-Star можна використовувати для аналізу мережі Twin-T, використовуючи наступну процедуру:

Дві Т-мережі можуть паралельно перетворюватися в подвійні мережі Дельта:
Конденсуйте ці дві мережі Delta в єдину мережу Delta
Перетворіть отриману мережу Delta назад у мережу T.
Для того, щоб побачити поведінку на пасивному близнюку Т, припустимо, що вузол 2 прив’язаний до землі та обробіть мережу Дельта, яку ви отримали на кроці 3, як дільник напруги.

Ви знайдете функцію передачі .
$H (s) = \frac{s^{2} + {ω_{0}}^{2}}{s^{2} + 4 s ω_{0} + {ω_{0}}^{2}}$ $H(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0 + {\omega_0}^2}$
Щоб побачити ефект завантажувальної передачі, припустимо, що вузол 2 утримується при напрузі α Vout, де α - деякий коефіцієнт масштабування між 0 і 1. Мережа Т все ще діє як дільник напруги, розділяючи між Vin і α Vout. Щоб знайти поведінку системи, нам потрібно розв’язати рівняння , де - функція передачі без зворотного зв'язку. Роблячи це, ми знаходимо нову функцію передачі: . Зауважимо, що для (немає зворотного зв'язку) у нас , як очікувалося. Для
$v_{out} = α \cdot v_{out} + H (s) (v_{in} - α \cdot v_{out})$ $v_\textrm{out} = \alpha \cdot v_\textrm{out} + H(s) ( v_\textrm{in} - \alpha\cdot v_\textrm{out} )$ $H (s) = Z_{2} / (Z_{1} + Z_{2})$ $H(s)=Z_2/(Z_1 + Z_2)$ $G (s) = \frac{1}{(1 - α) \frac{1}{H (s)} + α}$ $G(s) = \frac{1}{(1-\alpha)\frac{1}{H(s)} + \alpha}$ $\alpha=0$ $G(s)=H(s)$ $\alpha=1$ , система стає нестабільною. Графікуючи цю функцію для значень альфа між 0 і 1, ми виявляємо величезний приріст рівня Q.

Отримана функція передачі: .

G (s) = \frac{s^{2} + {ω_{0}}^{2}}{s^{2} + 4 s ω_{0} (α - 1) + {ω_{0}}^{2}}

$G(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0(\alpha - 1) + {\omega_0}^2}$

Ось як виглядає частотна характеристика, коли змінюється посилення зворотного зв'язку : $\alpha$

Алгебра різних перетворень трохи втомлива. Я використовував Mathematica для цього:

(* Define the delta-star and star-delta transforms *)

deltaToStar[{z1_,z2_,z3_}]:={z2 z3, z1 z3, z1 z2}/(z1+z2+z3)
starToDelta[z_]:=1/deltaToStar[1/z]

(* Check the definition *)
deltaToStar[{Ra,Rb,Rc}]

(* Make sure these transforms are inverses of each other *)
starToDelta[deltaToStar[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify
deltaToStar[starToDelta[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify

(* Define impedance of a resistor and a capacitor *)
res[R_]:=R
cap[C_]:=1/(s C)

(* Convert the twin T's to twin Delta's *) 
starToDelta[{res[R], cap[2C], res[R]}]//FullSimplify
starToDelta[{cap[C], res[R/2], cap[C]}]//FullSimplify

(* Combine in parallel *)
1/(1/% + 1/%%)//FullSimplify

(* Convert back to a T network *)
deltaToStar[%]//FullSimplify

starToVoltageDivider[z_]:=z[[2]]/(z[[1]]+z[[2]])
starToVoltageDivider[%%]//FullSimplify

% /. {s-> I ω, R ->  1/(ω0 C)} // FullSimplify

— nibot
джерело

2

Ось один із способів вирішити цю проблему - фільтр із висічкою із зворотним зв'язком трохи складніший, тому наразі я лише окреслив, як зробити загальну форму двостулкового фільтра:

введіть тут опис зображення

Щоб вирішити схему, використовуючи вузловий аналіз, що потрібно зробити, це перетворити джерело напруги Vin на його еквівалентне джерело Нортона - це трохи хитро, хоча тому, що вам доведеться перетворити Він на два джерела Нортона для обліку R1 і C1, а потім переставити ланцюг для компенсації . Подобається це:

поточна версія джерела

Точки 1, 2 і 3 відображаються в нових позиціях на еквівалентній схемі. Тоді ви зможете записати рівняння KCL шляхом перевірки та створити доповнену матрицю 3 на 3 у невідомих V1, V2 та V3. Потім ви можете вирішити для V2 / Vo з точки зору Vin за допомогою правила Креймера.

Схема зворотного зв'язку, як показано в таблиці даних TI, не повинна бути настільки складною, оскільки вихід буферується U1A та U1B, тоді ви могли б створити аналогічну схему еквівалентного джерела струму; замість R2 і C2 в моїй першій схемі, яка йде на землю, вони будуть підключені до джерела напруги зі значенням , де альфа - коефіцієнт поділу напруги. $Vo*\alpha$

Редагувати: виправлена перша діаграма

— Бітрекс
джерело