Обчисліть мінімальну кількість резисторів 120Ω, щоб отримати опір 80Ω?

28

Нещодавно мені довелося здати тести на основну електроніку. Я не зрозумів жодного питання правильно, але не зовсім розумію, чому.

How many 120Ω resistors are at minimum required to get a resistance of 80Ω?

Можливі відповіді на це питання є 2, 3, 4 and 6. Єдина відповідь, яку я можу придумати, - 6це резистори, розташовані так, як видно нижче. Але 6це не правильна відповідь.

Питання:

Скільки резисторів потрібно і їх влаштувати?

схематичні

^{імітувати цю схему - Схематично створено за допомогою CircuitLab}

Я знаю лише основи електроніки, тому сподіваюся, що мої думки є правильними.

resistors

— Маріус Шер
джерело

10

@Autistic б паралель 120 та 120 не була б 60?

— Marius Schär

3

може бути, Аутистичним стає Художнє

— Марла

8

Число три. Виведення комбінації залишається читачем як вправа ... але можливостей так багато.

— Кріс Страттон

2

Це тип проблеми, який може перемогти нас усіх. Іноді перед нами сидить найпростіше рішення. Я заохочую такі питання. Мені справді подобається дивитися в інтерв'ю такий тип запитань. Мартіне, не відчувай себе погано. . Я сам загубився від цього типу. Ми замикаємось у власних межах

— Марла,

4

Я мав на увазі 120 в паралелі з двома резисторами 120 Ом.

— Аутист

39

120 || (120 + 120) Якщо дві 120 паралельно дають 60, ви хочете, щоб одна з гілок була трохи вище, так що ... це наступне, що потрібно спробувати.

І метод взагалі вірний для отримання 2/3-значного резистора, використовуючи лише бункер такого ж типу. І взагалі для вирішення подібних задач варто пам’ятати, що еквівалентний опір двох паралельних резисторів менший, ніж у будь-якої з гілок. Ви також можете отримати 3/4 (так 90), наприклад, додавши ще одну гілку.

NB: Завдяки праці Массімо Ортолано , тепер я знаю, що те, що я зробив вище, слідуючи лише інтуїції, - це те, що я в основному дотримувався шляху пошуку, зазначеного нижче на дереві Стерна – Брокота :

— Фіз
джерело

Нічого, дякую за це! Було б дуже корисно, якби вони навчали цього простого методу на уроці ..

— Marius Schär

10

Сенс освіти часто полягає в тому, щоб викликати відкриття, а не просто розповідати вам речі.

— Кріс Страттон

3

Також codegolf.stackexchange.com/questions/20438/…

— Fizz

65

Пряме рішення може бути знайдене шляхом застосування продовжених дробів .

Якщо у вас є 120Ω, а ви хочете, що це 80Ω, запишіть дріб:

\frac{80 Ω}{120 Ω} = 0.6667

$\frac{80\Omega}{120\Omega} = 0.6667$

Оскільки ціла частина дорівнює нулю, ви почнете ставити резистори паралельно. Переверніть дробову частину:

\frac{1}{0.6667} = 1.5

$\frac{1}{0.6667} = 1.5$

Це говорить про те, що у вас буде 1 резистор паралельно деякій кількості резисторів послідовно. Знову переверніть дробову частину:

\frac{1}{0.5} = 2.0

$\frac{1}{0.5} = 2.0$

Це говорить про те, що вам потрібно 2 резистори послідовно. Оскільки на даний момент немає дробової частини, ви закінчили.

Відповідь загалом 3 резистори.

— Дейв Твід
джерело

15

Комбінації резисторів тривалими дробами .... акуратні.

— Ясен

1

Як ви вважаєте, цей алгоритм дає загальне мінімальне рішення (у кількості резисторів)? Схоже, є нещодавній документ про цю тему, але, здається, це огляд, орієнтований на освіту. Не можна не згадати про мінімальність.

— Фіз

2

Також math.stackexchange.com/questions/14645/… Зауважте, що прийнята відповідь насправді неправильна!

— Фіз

6

@RespawnedFluff: ні, зазвичай це не дає мінімального рішення. Використання тривалого розширення фракцій дає рішення, що складається тільки з паралельних і послідовних комбінацій, але, як правило, рішення з меншою кількістю резисторів можна знайти, враховуючи також мостові резистори. Можна показати, що для плоских мереж проблема еквівалентна проблемі заповнення прямокутників цілобічними квадратами . Якщо тоді розглядати також непланарні мережі, ймовірно, можна знайти рішення з ще меншою кількістю елементів.

— Массімо Ортолано

3

Для [кращого] пошуку ключових слів рішення, яке вказував Дейв, засноване на наближенні дерева Стерна – Брокота до реального числа. Це я дізнався, читаючи до речі документ Массімо Ортолано, який також є у вільному доступі на арксиві .

— Фіз

20

Ви можете змінити своє рішення, змінюючи послідовний і паралельний:

схематичні

^{імітувати цю схему - Схематично створено за допомогою CircuitLab}

Потім можна згрупувати R2, R3, R5 і R6 в одну групу 2x2:

схематичні

^{моделювати цю схему}

І ці 4 резистори складають єдиний резистор : $120\Omega$ $120\Omega$

схематичні

^{моделювати цю схему}

— храповик виродка
джерело

1

Це те саме, що сказав користувач92407 за 3 години вухо, хоча і з діаграмою.

— Трейд Дейва

1

Проте я вважаю додаток корисним; вона фактично використовує еквівалентну задачу геометричної плитки, вказану Массімо Ортолано . Чотири опори, які можна замінити, утворюють [більший] квадрат.

— Фіз

7

Візьміть своє рішення, але без центральної точки посередині: ви можете переставити це у вигляді трьох паралельних секцій по 120 + 120 Ом кожен (з'єднання середніх точок не має значення, оскільки всі вони мають однакову напругу). Тепер дві з трьох паралельних секцій 120 + 120 Ом знову об'єднуються в 120 Ом, тому ви можете замінити ці 4 резистора з двох паралельних угруповань на один, залишивши лише один резистор 120 Ом паралельний 120 + 120 Ом.

Існує безліч рішень, що підтверджують правильність цього рішення, як тільки ви його отримали. Але ця перебудова показує, як її знайти, не повертаючись до математичних спроб та помилок.

— user92407
джерело

1

Насправді це включає спроби та помилки [загалом]. Невідомо вирішення проблеми мінімальної плитки прямокутника цілими квадратами, що не передбачає вичерпного пошуку. Однак є деякі евристики, які обрізають дерево рішення, але вони не гарантують мінімального рішення.

— Фіз

4

Розвиваючи відповідь @ RespawnedFluff, один із способів знайти це - думати наступним чином:

Які резистори у мене є, нормально 120.
Що мені потрібно зробити, 80
Які рівняння ми знаємо? Добре два резистори послідовно або паралельно - це найпростіші вихідні точки. Очевидно, що серія не допомагає відразу - це збільшить опір, а не зменшить його. Тому нам потрібно буде спробувати паралельно. Ми знаємо рівняння:

\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}}

$\frac{1}{R_p}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$

Тож, можливо, почнемо з цього:

\begin{aligned} \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} & = 80 \\ 80 R_{1} + 80 R_{2} & = R_{1} R_{2} \\ R_{2} & = \frac{80 R_{1}}{R_{1} - 80} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} &= 80\\\\ 80R_1 + 80R_2 &= R_1 R_2\\\\ R_2 &= \frac{80R_1}{R_1-80} \end{align}$

Тож чи можете ви знайти будь-яку комбінацію, яка підходить? Ну, почніть з а потім подивіться, яке значення має бути . Чи можете ви легко зробити це значення? У даному випадку так, це чудово. $R_1=120$ $R_2$
Для інших значень, якщо ви не можете отримати значення одразу, вам може знадобитися спробувати той же підхід, як вище, ітераційно, щоб знайти значення для . Якщо це не спрацює, ви також можете спробувати змінити - можливо, два послідовно або паралельно, а потім повторити спробу для . $R_2$ $R_1$ $R_2$

Цей підхід є досить ітераційним, але в цьому випадку він швидко знайшов би відповідь, яку ви отримали (використовуючи 6 резисторів), а також відповідь, отриману @RespawnedFluff (використовуючи 3 резистори).

Якщо ви намагалися виростити опір (тобто необхідний опір більший, ніж ваше доступне значення), ви в основному робите те саме, але починаєте з більшого доступного опору або розділяєте більший опір на послідовні шматки і вирішуйте їх ( Наприклад, якщо ви хочете , ви можете вибрати шматок та ). $180\Omega$ $120\Omega$ $60\Omega$

Вам може бути цікаво, як би метод отримав вашу відповідь - враховуючи, що у вас є 3 паралельних гілки, тоді як у цьому підході використовуються дві. Ну, обчислюючи вище, ітеративно, ви ввели б як паралельну гілку, яка топологічно така сама, як якщо б були 3 гілки для початку. $R_2$ $R_2$

— Том Карпентер
джерело

Виправив мою відповідь. Я повністю переплутав своє пояснення.

— Том Карпентер

Якщо одна гілка резистора зафіксована, це легко вирішити (або визначити, що немає [цілого] рішення). Я досі не впевнений, як це вирішити навіть з двома гілками, не маючи на увазі загалом. Це складніше діофантинове рівняння.

— Фіз

Проблема, ймовірно, повна NP, що стосується перерахунку: arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1004/1004.3346.pdf

— Fizz

1

Основний опір у рядах і опір у паралельній логіці. Дуже просто..

Ми знаємо, що вихід становить 80 Ом, тому вирішити проблему легко. Спробуйте формулу паралельного опору: Тому .. Тут поставте .

\frac{1}{R p} = \frac{R 1 + R 2}{R 1 \cdot R 2}

$\frac{1}{Rp} = \frac{R1+R2}{R1\cdot R2}$

R p = \frac{R 1 \cdot R 2}{R 1 + R 2}

$Rp = \frac{R1\cdot R2}{R1+R2}$

R p = 80 Ω

$Rp = 80\Omega$

Як ми знаємо, у нас є резистори лише 120 Ом. Покладіть $R1 = 120\Omega$

Розв’язуючи ... ви отримаєте . $R2 = 240\Omega$

Але ми не можемо використовувати тут резистор 240 Ом, оскільки сказано, що у нас є лише 120 Ом резистори. Тож замість 240Ω ми будемо використовувати 120Ω + 120Ω (послідовно) паралельно з одним резистором 120Ω.

— Рохіт Дані
джерело

4

Це те саме, що сказав Том Карпентер на 11 годин раніше. Спробуємо уникати дублювання відповідей.

— Трейд Дейва