Чому інтеграл дорівнює нулю

9

Цікаво, чому, при припущенні, що $\omega \gg \frac{1}{T}$ тоді $\int_{0}^{T} \sin(\omega t)dt \approx 0$ ?

Оскільки інтеграл повинен бути як $\frac{\cos(\omega t)}{w}$ з $0$ до $T$ і після підключення цінного ми закінчимо:

\frac{- \cos (ω T) + 1}{ω}

$\frac{-\cos(\omega T)+1}{\omega}$

communication digital-communications detection

— user59419
джерело

9

Я голосую за те, щоб закрити це питання поза темою, оскільки воно не стосується електроніки і є чистим питанням, заснованим на математиці, і так має належати до math.stackexchange.com

— efox29

4

Абсолютно ні. Ця оцінка використовується у всіх системах комунікацій і не є чистим математичним питанням, оскільки з точки зору математики цей інтеграл не завжди дорівнює нулю

— user59419

Ти маєш на увазі

\frac{1}{T} \int . . .

$\frac{1}{T}\int ...$ ?

— Чу

Ні, немає

\frac{1}{T}

$\frac{1}{T}$ . Якщо

\frac{1}{T}

$\frac{1}{T}$ Присутні це має сенс, і я бачив це в різних місцях.

— user59419

6

Якщо ви говорите про телекомунікації, я припускаю, що ми говоримо про високі частоти. Якщо це так:

$\frac{1}{T} = f$
$\omega \gg \frac{1}{T}$

$−\cos(\omega T)+1$ варіюється від $0$ до $+2$ , якщо розділити це на велику кількість, ви отримаєте приблизно нуль.
Щоб дати вам уявлення: на частоту навколо $1\;\text{kHz}$ (що вважається "наднизьким" ), результат буде НА МАКСИМАЛЬНИМ $0.002$ .

— FMarazzi
джерело

3

Набагато краще пояснення, ніж мій грубий підхід.

— Арсенал

1

Я не думаю, що це повна відповідь: це можливо навіть для невеликих значень

ω

$\omega$ задовільняти

ω ≫ \frac{1}{T}

$\omega \gg \frac1T$ , якщо

T

$T$ досить великий.

— Ільмарі Каронен

1

@IlmariKaronen T ніколи не є достатньо великим у телекомунікаціях.

— FMarazzi

4

Збільшуючи частоту, ми вводимо більше періодів коливань в інтервал інтеграції.

Оскільки інтеграл синуса протягом одного періоду дорівнює нулю, ми повинні розглядати лише "неповний" період в кінці інтервалу інтеграції.

Коли ми збільшуємо частоту, область цього неповного періоду стає все тоншою і тоншою (пояснюючи це $\omega$ у визначнику).

— walljam7
джерело

3

Якщо я підключаю деякі значення, я отримую наступне:

$T = 1$

$\omega \rightarrow$ результат

$10^0 \rightarrow 0.460$

$10^1 \rightarrow 0.184$

$10^2 \rightarrow 0.001$

$10^3 \rightarrow 4.376E-04$

$10^4 \rightarrow 1.952E-04$

$10^5 \rightarrow 1.999E-05$

$10^6 \rightarrow 6.325E-08$

Тепер я не впевнений, який порядок $>>$ означає і наскільки малий результат повинен бути врахований $\approx 0$ , але він, як правило, дорівнює нулю, якщо він набагато більший.

Назвіть типові значення $\omega$ і Т ви дивитесь?

Оновлення (через коментарі):

Як досить добре пояснив FMarazzi, для цієї справи є верхня межа $\cos(\omega T)$ дорівнює -1, значить, у вас буде $\frac{2}{\omega}$ , що є абсолютним максимумом, який ви коли-небудь отримаєте для будь-якого Т.

Отже, якщо ви вибираєте значення для T, певним чином ви отримуєте максимум для даної $\omega$ таблиця перетворюється на:

$\omega \rightarrow$ максимально можливе значення

$10^0 \rightarrow 2$

$10^1 \rightarrow 0.2$

$10^2 \rightarrow 0.02$

$10^3 \rightarrow 2E-03$

$10^4 \rightarrow 2E-04$

$10^5 \rightarrow 2E-05$

$10^6 \rightarrow 2E-06$

І так далі. Я не знаю, в якому контексті використовується наближення, але, як зазначається в коментарях, це стосується систем зв'язку, і я гадаю, що мова йде не про якийсь UART на 9600 бодах, а про щось на кшталт ethernet або швидших речей, $\omega$ в порядку $10^7$ або вище, для чого результат інтеграла стає малим і, ймовірно, не сприяє іншим умовам інтересу.

— Арсенал
джерело

Дякую. Ваше запитання, безумовно, має сенс, і це саме моя проблема, оскільки діапазон T і w не заданий і є лише умовою, що wT >> 1 згадується. Я думав, що якщо T = 1000 і w = 1, то інтеграл не дорівнює нулю.

— user59419

Якщо T довільне, площа під sin (wt), як правило, буде не нульовою. Має бути ще одне обмеження.

— Чу

@ Чжу Я не кажу, що це буде 0, він, як правило, дуже близький до 0, настільки близький, що з практичних цілей його можна нехтувати (це звичайне спрощення, щоб зробити речі вирішуваними для людини). FMarazzi фактично дав кращий аналіз верхньої межі результату.

— Арсенал

1

@Arsenal, але ви припустили значення для T. У вихідному запитанні такої специфікації немає - і w, і T вільно блукають. Тож інтеграл може бути далеким від нуля

— Чу

@Чу так, це було трохи недалеко в огляді. Я оновив свою відповідь, щоб зрозуміти точку зору. Це не може бути довгим від нуля для більш високих омегів.

— Арсенал

0

In the equation as written a larger $\omega$ will result on average in a smaller value of the integral but a larger $T$ will not.

I suspect more context is needed to properly understand what is meant.

In particular we need to think about what exactly we mean by " $\approx 0$ ". " $\approx 0$ " should probablly be intepreted as "negligable" but what "negligable" means is highly dependent on context. If there is some related value that increases with increasing values of $T$ then it may be that the result of the integral when large $T$ is large but $\omega$ is small can still be considered negligable.

— Peter Green
джерело