Яка саме роль утримування нульового порядку в гібридній аналоговій / цифровій системі вибіркових даних?

Я визнаю, я задаю це питання риторично. Мені цікаво, які відповіді з цього вийдуть.

Якщо ви вирішите відповісти на це, переконайтеся, що ви добре розумієте теорему відбору проб Шеннона-Найкіста. Особливо реконструкція. Також будьте обережні до "ґетчі" в підручниках. Інженерне поняття імпульсної функції дельта-дельта достатньо. Вам не потрібно турбуватися про всі речі "розподілу", диракський імпульс як функція народження дельти досить хороший:

$$\delta(t) = \lim_{\tau \to 0} \frac{1}{\tau} \operatorname{rect}\left(\frac{t}{\tau} \right)$$

де

$$\mathrm{rect}(t) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$$

Питання щодо точності, бітової ширини зразкових слів та квантування, здійснених при перетворенні, не стосуються цього питання. Але масштабування від введення до виходу є релевантним.

Я зрештою напишу свою відповідь на нього, якщо хтось інший не представи точну та педагогічно корисну відповідь. Я навіть міг би покласти це на винагороду (можливо, витратити на те, що у мене є мало).

Майте на це.

Налаштування

Ми розглядаємо систему з вхідним сигналом $x(t)$ , а для наочності називаємо значення $x(t)$ як напруги, де це необхідно. Наш період вибірки - $T$ , а відповідна швидкість вибірки - $f_s \triangleq 1/T$ .

Для перетворення Фур'є ми вибираємо конвенції

$$X(i 2 \pi f) = \mathcal{F}(x(t)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-i 2 \pi f t} \mathrm{d}t,$$ даючи обернене перетворення Фур'є $$x(t) = \mathcal{F}^{-1}(X(i 2 \pi f)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty X(i 2 \pi f) e^{i 2 \pi f t} \mathrm{d}f.$$ Зауважте, що за цими умовами$X$є функцією змінної Лапласа$s = i \omega = i 2 \pi f$ .

Ідеальний відбір проб та реконструкція

Почнемо з ідеальної вибірки: згідно з теоремою вибірки Найквіста-Шеннона , заданим сигналом $x(t)$ який обмежений смугою ,тобтоX(i2πf)=0$f < \frac{1}{2} f_s$ то вихідний сигнал може бути повністю відновлені ззразківх[п]≜х(пТ), деп∈Z. Іншими словами, враховуючи умову пропускної здатності сигналу (називаєтьсякритерієм Найквіста), достатньо знати його миттєві значення в рівновіддалених від часу дискретних точках.

$$X(i 2 \pi f) = 0,\qquad \mathrm{when }\, |f| \geq \frac{1}{2}f_s,$$ $x[n] \triangleq x(n T)$$n\in \mathbb{Z}$

Теорема вибірки також дає чіткий метод проведення реконструкції. Виправдаємо це так, що буде корисним у наступному: оцінимо перетворення Фур'є сигналу x ( t ) за його Рімановою сумою з кроком T : X ( i 2 π f ) ∼ ∞ ∑ n = - ∞ x ( n Δ t ) e - i 2 π $X(i 2 \pi f)$$x(t)$$T$ деΔт=Т. Перепишемо це як інтеграл, щоб кількісно визначити помилку, яку ми робимо: ∞ ∑ n = - ∞ x ( n T ) e - i 2 π f n T

$$X(i 2 \pi f) \sim \sum_{n = -\infty}^\infty x(n \Delta t)e^{-i 2 \pi f n \Delta t} \Delta t,$$ $\Delta t = T$ де ми використовувалитеорему згортанняна добуткуx(t)та функціювибірки∑ ∞ n = - ∞ Tδ(t-nT), факт, що перетворення Фур'є функції вибірки∑ ∞ n = - ∞ δ(f- $$\begin{align} \sum_{n = -\infty}^\infty x(n T)e^{-i 2 \pi f n T}T &= \int_{-\infty}^\infty \sum_{n = -\infty}^\infty x(t)e^{-i 2 \pi f t}T \delta(t - n T)\mathrm{d}t\\ &= X(i 2 \pi f) * \mathcal{F}(T \sum_{n = -\infty}^\infty \delta(t - nT)) \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty X(f - k/T), \tag{1} \label{discreteft} \end{align}$$ $x(t)$ $\sum_{n = -\infty}^\infty T \delta(t - n T)$ , і здійснив інтеграл над дельта-функціями.$\sum_{n = -\infty}^\infty \delta(f - k/T)$

Зауважимо, що ліва сторона є рівно , де X 1 / T ( i 2 π f T ) - дискретний час перетворення Фур'є відповідного відібраного сигналу x [ n ] ≜ x ( n T ) , з f T безрозмірна дискретна часова частота.$T X_{1/T}(i 2 \pi f T)$$X_{1/T}(i 2 \pi f T)$$x[n] \triangleq x(n T)$$f T$

Тут ми бачимо істотну причину критерію Найквіста: саме те, що потрібно гарантувати, що умови суми не збігаються. За критерієм Найкіста вищеназвана сума зводиться до періодичного розширення спектра від інтервалу до всієї реальної лінії.$[-f_s/2, f_s/2]$

Оскільки DTFT в має таке ж перетворення Фур'є в інтервалі [ - f s / 2 , f s / 2 ], як і наш вихідний сигнал, ми можемо просто помножити його на прямокутну функцію r e c t ( f / f s ) і повернути вихідний сигнал. Через теорему згортання це доводиться до згортання гребінця Дірака з перетворенням Фур'є прямокутної функції, яке в наших конвенціях F ( r e c t ( $\eqref{discreteft}$$[-f_s/2, f_s/2]$$\mathrm{rect}(f/f_s)$ денормалізованою функцією sincє s i n c ( x ) ≜ sin ( π x

$$\mathcal{F}(\mathrm{rect}(f/f_s)) = 1/ T \mathrm{sinc}(t/T),$$ Потім згортка просто замінює кожну дельту Дірака в гребінці Дірака з функцією sinc, зміщеною в положення дельти, даючи x ( t ) = ∞ ∑ n = - ∞ x [ n ] s i n c ( t / T - п ) . Цеформула інтерполяції Віттакера-Шеннона. $$\mathrm{sinc}(x) \triangleq \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$$ $$x(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty x[n] \mathrm{sinc}(t/T - n). \tag{2} \label{sumofsinc}$$

Неідеальний вибірки

Для перекладу вищезазначеної теорії в реальний світ найскладнішою є гарантія обмеження смуг, яке необхідно зробити перед вибіркою. Для цілей цієї відповіді ми припускаємо, що це було зроблено. Залишилося потім взяти вибірки миттєвих значень сигналу. Оскільки справжньому АЦП знадобиться обмежений час, щоб сформувати наближення до вибірки, звичайна реалізація збереже значення сигналу в схемі вибірки та утримування, з якої формується цифрове наближення.

Незважаючи на те, що це дуже нагадує утримування нульового порядку, це чіткий процес: значення, отримане від вибірки і утримування, справді є саме миттєвим значенням сигналу, аж до наближення, що сигнал залишається постійним для тривалість, яка потрібна для заряду конденсатора, що містить значення вибірки. Зазвичай це добре досягається системами реального світу.

Тому ми можемо сказати, що справжній АЦП в реальному світі, ігноруючи проблему смугового обмеження, є дуже хорошим наближенням до випадку ідеального відбору проб, і, зокрема, "сходи", що надходять із вибірки та утримування, не викликають помилок у відбір проб сам по собі.

Неідеальна реконструкція

Для реконструкції мета полягає в тому, щоб знайти електронну схему, яка виконує суму синхронізацій, що з'являються в . Оскільки синх має нескінченну міру у часі, цілком зрозуміло, що цього неможливо точно реалізувати. Крім того, формування такої суми сигналів навіть до розумного наближення зажадає декількох підсхем і швидко стає дуже складним. Тому зазвичай використовується набагато простіше наближення: у кожен момент вибірки виводиться напруга, відповідне значення вибірки, і тримається постійним до наступного моменту вибірки (хоча див. Модуляцію дельта-сигми r e c t ( t / T - 1 / 2 $\eqref{sumofsinc}$ для прикладу альтернативного методу). Це затримка нульового порядку і відповідає заміні sinc, який ми використовували вище, функцією прямокутника $1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2)$ . Оцінка згортку

$$(1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2))*\left(\sum_{n = -\infty}^\infty T x[n] \delta(t - n T)\right),$$ використовуючи визначальну властивість дельта-функції, ми бачимо, що це дійсно призводить до класичної безперервної форми східної хвилі. Коефіцієнт вводиться для скасування T, введеного в (1) . Про те, що такий фактор необхідний, зрозуміло також з того, що одиниці імпульсної відповіді є одноразовими.$1/T$$T$$\eqref{discreteft}$

Зрушення на є просто гарантії причинності . Це становить лише зсув виходу на 1/2 вибірки щодо використання 1 / T r e c t ( 1 / T $-1/2 T$$1/T \mathrm{rect}(1/T)$ (що може мати наслідки в системах реального часу або дуже потрібна точна синхронізація із зовнішніми подіями) , яку ми ігноруємо в подальшому.

Порівнюючи з , ми замінили прямокутну функцію в частотній області, яка залишила базову смугу цілком недоторканою і видалила всі копії вищої частоти спектру, звані зображеннями , на перетворення Фур'є функції 1 / T r e c t ( t / T ) . Це звичайно s i n c ( f / f s ) $\eqref{discreteft}$$1/T \mathrm{rect}(t/T)$

$$\mathrm{sinc}(f/f_s).$$

Зауважимо, що логіка дещо відвернена від ідеального випадку: там ми визначили нашу мету, яка полягала в тому, щоб видалити зображення у частотній області та вивели наслідки у часовій області. Тут ми визначили, як реконструювати часову область (оскільки це ми знаємо, як зробити), і отримали наслідки в частотній області.

Таким чином, результат утримання нульового порядку полягає в тому, що замість прямокутного вікна в частотній області ми закінчуємо sinc як функцію вікон. Тому:

• Частотна характеристика більше не обмежена смугами. Він швидше розпадається як , при цьому верхні частоти є зображеннями вихідного сигналу$1/f$
• в основний смузі частот, відповідь вже значно спадає, досягаючи близько -4 дБ на $1/2 f_s$

Загалом, утримування нульового порядку використовується для апроксимації функції синхронізації часової області, що з'являється у формулі інтерполяції Віттакера-Шеннона . Під час вибірки подібний вигляд вибірки і утримування є технічним рішенням проблеми оцінки миттєвого значення сигналу і не створює жодних помилок сам по собі.

Зауважте, що при реконструкції також не втрачається інформація, оскільки ми завжди можемо відфільтрувати зображення високої частоти після початкового утримування нульового порядку. Втрати посилення також можна компенсувати за допомогою зворотного фільтра sinc перед або після ЦАП. Отже, з більш практичної точки зору, утримування нульового порядку використовується для побудови початкового реалізованого наближення до ідеальної реконструкції, яке потім може бути вдосконалено, якщо це необхідно.

Утримання нульового порядку має роль наближення дельти та $\mathrm{sinc}$ -функції, що з’являються в теоремі вибірки, залежно від того, що є доцільним.

З метою ясності я розглядаю систему АЦП / ЦАП з сигналом напруги. Все наведене нижче стосується будь-якої системи відбору проб з відповідною зміною одиниць. Я також припускаю, що вхідний сигнал вже магічно обмежений для виконання критерію Найквіста.

Почніть з вибірки: в ідеалі можна було б вибирати значення вхідного сигналу за один момент. Оскільки реальному АЦП потрібна обмежена кількість часу, щоб сформувати їх наближення, миттєве напруга наближається до вибірки та утримування (миттєве наближення часу перемикання, що використовується для зарядки конденсатора). Отже, по суті, утримування перетворює задачу застосування дельта-функціоналу до сигналу до задачі вимірювання постійної напруги.

Зауважте тут, що різниця між вхідним сигналом, помноженим на імпульсний потік, або затримкою нульового порядку, що застосовується в тих же екземплярах, є лише питанням інтерпретації, оскільки АЦП, тим не менше, зберігатиме лише миттєві напруги, що утримуються. Одне можна реконструювати з іншого. Для цілей цієї відповіді я прийму тлумачення, що вибірковий сигнал є сигналом форми безперервного часу

$$x(t) = \frac{\Delta t V_\mathrm{ref}}{2^n}\sum_k x_k \delta(t - k \Delta t),$$ де $V_\mathrm{ref}$ - опорна напруга АЦП / ЦАП, $n$ - кількість біт, $x_k$ - вибірки, представлені звичайним чином у вигляді цілих чисел, і $\Delta t$ is the sampling period. This somewhat unconventional interpretation has the advantage that I am considering, at all times, a continuous-time signal, and sampling here simply means representing it in terms of the numbers $x_k$, which are indeed the samples in the usual sense.

In this interpretation, the spectrum of the signal in the baseband is the exact same as that of the original signal, and the effective convolution by the impulse train has the effect of replicating that signal such as to make the spectrum periodic. The replicas are called images of the spectrum. That the normalization factor $\Delta t$ is necessary can be seen, for example, by considering the DC-offset of a 1 volt pulse of duration $\Delta t$: its DC-offset defined as the $f = 0$ -component of the Fourier transform is

$$\hat{x}(0) = \int_0^{\Delta t} 1\mathrm{V}\mathrm{d}t = 1\mathrm{V} \Delta t.$$ In order to get the same result from our sampled version, we must indeed include the factor of $\Delta t$.*

Ideal reconstruction then means constructing an electrical signal that has the same baseband spectrum as this signal, and no components at frequencies outside this range. This is the same as convolving the impulse train with the appropriate $\mathrm{sinc}$-function. This is quite challenging to do electronically, so the $\mathrm{sinc}$ is often approximated by a rectangular function, AKA zero-order hold. In essence, at each delta function, the value of the sample is held for the duration of the sampling period.

In order to see what consequences this has for the reconstructed signal, I observe that the hold is exactly equivalent to convolving the impulse train with the rectangular function

$$\mathrm{rect}_{\Delta t}(t) = \frac{1}{\Delta t}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\Delta t}\right).$$ The normalization of this rectangular function is defined by requiring that a constant voltage is correctly reproduced, or in other words, if a voltage $V_1$ was measured when sampling, the same voltage is output on reconstruction.

In the frequency domain, this amounts to multiplying the frequency response with the Fourier transform of the rectangular function, which is

$$\hat{\mathrm{rect}}_{\Delta t}(f) = \mathrm{sinc}(\pi \Delta t f).$$ Note that the gain at DC is $1$. At high frequencies, the $\mathrm{sinc}$ decays like $1/f$, and therefore attenuates the images of the spectrum.

In the end, the $\mathrm{sinc}$-function resulting from the zero-order hold behaves as a low-pass filter on the signal. Note that no information is lost in the sampling phase (assuming the Nyquist criterion), and in principle, neither is anything lost when reconstructing: the filtering in the baseband by the $\mathrm{sinc}$ could be compensated for by an inverse filter (and this is indeed sometimes done, see for example https://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/3853). The modest $-6\mathrm{dB/octave}$ decay of the $\mathrm{sinc}$ usually requires some form of filtering to further attenuate the images.

Note also that an imaginary impulse generator that could physically reproduce the impulse train used in the analysis would output an infinite amount of energy in reconstructing the images. This would also cause some hairy effects, such as that an ADC re-sampling the output would see nothing, unless it were perfectly synchronized to the original system (it would mostly sample between the impulses). This shows clearly that even if we cannot bandlimit the output exactly, some approximate bandlimiting is always needed to regularize the total energy of the signal, before it can be converted to a physical representation.

To summarize:

• in both directions, the zero-order-hold acts as an approximation to a delta function, or it's band-limited form, the $\mathrm{sinc}$ -function.
• from the frequency domain point of view, it is an approximation to the brickwall filter that removes images, and therefore regulates the infinite amount of energy present in the idealized impulse train.

---

*This is also clear from dimensional analysis: the units of a Fourier transform of a voltage signal are $\mathrm{V}\mathrm{s} = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{Hz}},$ whereas the delta function has units of $1/\mathrm{s}$, which would cancel the unit of time coming from the integral in the transform.

Fourier Transform:

$$X(j 2 \pi f) = \mathscr{F}\{x(t)\} \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{-j 2 \pi f t} \ \text{d}t$$

Inverse Fourier Transform:

$$x(t) = \mathscr{F}^{-1}\{X(j 2 \pi f)\} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} X(j 2 \pi f) \ e^{j 2 \pi f t} \ \text{d}f$$

Rectangular pulse function:

$$\operatorname{rect}(u) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |u| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |u| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$$

"Sinc" function ("sinus cardinalis"):

$$\operatorname{sinc}(v) \triangleq \begin{cases} 1 & \mbox{if } v = 0 \\ \frac{\sin(\pi v)}{\pi v} & \mbox{if } v \ne 0 \\ \end{cases}$$

Define sampling frequency, $f_\text{s} \triangleq \frac{1}{T}$ as the reciprocal of the sampling period $T$.

Note that:

$$\mathscr{F}\left\{\operatorname{rect}\left( \frac{t}{T} \right) \right\} = T \ \operatorname{sinc}(fT) = \frac{1}{f_\text{s}} \ \operatorname{sinc}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$$

Dirac comb (a.k.a. "sampling function" a.k.a. "Sha function"):

$$\operatorname{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT)$$

Dirac comb is periodic with period $T$. Fourier series:

$$\operatorname{III}_T(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t}$$

Sampled continuous-time signal:

$$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \\ & = x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) \right) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(t) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t - nT) \\ \end{align}$$

where $x[n] \triangleq x(nT)$.

This means that $x_\text{s}(t)$ is defined solely by the samples $x[n]$ and the sampling period $T$ and totally loses any information of the values of $x(t)$ for times in between sampling instances. $x[n]$ is a discrete sequence of numbers and is a sorta DSP shorthand notation for $x_n$. While it is true that $x_\text{s}(t) = 0$ for $nT < t < (n+1)T$, the value of $x[n]$ for any $n$ not an integer is undefined.

N.B.: The discrete signal $x[n]$ and all discrete-time operations on it, like the $\mathcal{Z}$-Transform, the Discrete-Time Fourier Transform (DTFT), the Discrete Fourier Transform (DFT), are "agnostic" regarding the sampling frequency or the sampling period $T$. Once you're in the discrete-time $x[n]$ domain, you do not know (or care) about $T$. It is only with the Nyquist-Shannon Sampling and Reconstruction Theorem that $x[n]$ and $T$ are put together.

The Fourier Transform of $x_\text{s}(t)$ is

$$\begin{align} X_\text{s}(j 2 \pi f) \triangleq \mathscr{F}\{ x_\text{s}(t) \} & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{ \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right) \\ \end{align}$$

Important note about scaling: The sampling function $T \cdot \operatorname{III}_T(t)$ and the sampled signal $x_\text{s}(t)$ has a factor of $T$ that you will not see in nearly all textbooks. That is a pedagogical mistake of the authors of these of these textbooks for multiple (related) reasons:

1. First, leaving out the $T$ changes the dimension of the sampled signal $x_\text{s}(t)$ from the dimension of the signal getting sampled $x(t)$.
2. That $T$ factor will be needed somewhere in the signal chain. These textbooks that leave it out of the sampling function end up putting it into the reconstruction part of the Sampling Theorem, usually as the passband gain of the reconstruction filter. That is dimensionally confusing. Someone might reasonably ask: "How do I design a brickwall LPF with passband gain of $T$?"
3. As will be seen below, leaving the $T$ out here results in a similar scaling error for the net transfer function and net frequency response of the Zero-order Hold (ZOH). All textbooks on digital (and hybrid) control systems that I have seen make this mistake and it is a serious pedagogical error.

Note that the DTFT of $x[n]$ and the Fourier Transform of the sampled signal $x_\text{s}(t)$ are, with proper scaling, virtually identical:

DTFT:

$$\begin{align} X_\mathsf{DTFT}(\omega) & \triangleq \mathcal{Z}\{x[n]\} \Bigg|_{z=e^{j\omega}} \\ & = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ e^{-j \omega n} \\ \end{align}$$

It can be shown that

$$X_\mathsf{DTFT}(\omega) = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) = \frac{1}{T} X_\text{s}(j 2 \pi f)\Bigg|_{f=\frac{\omega}{2 \pi T}}$$

---

The above math is true whether $x(t)$ is "properly sampled" or not. $x(t)$ is "properly sampled" if $x(t)$ can be fully recovered from the samples $x[n]$ and knowledge of the sampling rate or sampling period. The Sampling Theorem tells us what is necessary to recover or reconstruct $x(t)$ from $x[n]$ and $T$.

If $x(t)$ is bandlimited to some bandlimit $B$, that means

$$X(j 2 \pi f) = 0 \quad \quad \text{for all} \quad |f| > B$$

Consider the spectrum of the sampled signal made up of shifted images of the original:

$$X_\text{s}(j 2 \pi f) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$$

The original spectrum $X(j 2 \pi f)$ can be recovered from the sampled spectrum $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ if none of the shifted images, $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$, overlap their adjacent neighbors. This means that the right edge of the $k$-th image (which is $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$) must be entirely to the left of the left edge of the ($k+1$)-th image (which is $X\left(j 2 \pi (f - (k+1) f_\text{s})\right)$). Restated mathematically,

$$k f_\text{s} + B < (k+1) f_\text{s} - B$$

which is equivalent to

$$f_\text{s} > 2B$$

If we sample at a sampling rate that exceeds twice the bandwidth, none of the images overlap, the original spectrum, $X(j 2 \pi f)$, which is the image where $k=0$ can be extracted from $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ with a brickwall low-pass filter that keeps the original image (where $k=0$) unscaled and discards all of the other images. That means it multiplies the original image by 1 and multiplies all of the other images by 0.

$$\begin{align} X(j 2 \pi f) & = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right) \cdot X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ & = H(j 2 \pi f) \ X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ \end{align}$$

The reconstruction filter is

$$H(j 2 \pi f) = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$$

and has acausal impulse response:

$$h(t) = \mathscr{F}^{-1} \{H(j 2 \pi f)\} = f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}t)$$

This filtering operation, expressed as multiplication in the frequency domain is equivalent to convolution in the time domain:

$$\begin{align} x(t) & = h(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \left(f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right) \\ \end{align}$$

That spells out explicitly how the original $x(t)$ is reconstructed from the samples $x[n]$ and knowledge of the sampling rate or sampling period.

---

So what is output from a practical Digital-to-Analog Converter (DAC) is neither

$$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right)$$

which needs no additional treatment to recover $x(t)$, nor

$$x_\text{s}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ T \delta(t-nT)$$

which, with an ideal brickwall LPF recovers $x(t)$ by isolating and retaining the baseband image and discarding all of the other images.

What comes out of a conventional DAC, if there is no processing or scaling done to the digitized signal, is the value $x[n]$ held at a constant value until the next sample is to be output. This results in a piecewise-constant function:

$$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t-nT - \frac{T}{2}}{T} \right)$$

Note the delay of $\frac{1}{2}$ sample period applied to the $\operatorname{rect}(\cdot)$ function. This makes it causal. It means simply that

$$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{when} \quad nT \le t < (n+1)T$$

Stated differently

$$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{for} \quad n = \operatorname{floor}\left( \frac{t}{T} \right)$$

where $\operatorname{floor}(u) = \lfloor u \rfloor$ is the floor function, defined to be the largest integer not exceeding $u$.

This DAC output is directly modeled as a linear time-invariant system (LTI) or filter that accepts the ideally sampled signal $x_\text{s}(t)$ and for each impulse in the ideally sampled signal, outputs this impulse response:

$$h_\text{ZOH}(t) = \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right)$$

Plugging in to check this...

$$\begin{align} x_\text{DAC}(t) & = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h_\text{ZOH}(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h_\text{ZOH}(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h_\text{ZOH}(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ \end{align}$$

The DAC output $x_\text{DAC}(t)$, as the output of an LTI system with impulse response $h_\text{ZOH}(t)$ agrees with the piecewise constant construction above. And the input to this LTI system is the sampled signal $x_\text{s}(t)$ judiciously scaled so that the baseband image of $x_\text{s}(t)$ is exactly the same as the spectrum of the original signal being sampled $x(t)$. That is

$$X(j 2 \pi f) = X_\text{s}(j 2 \pi f) \quad \quad \text{for} \quad -\frac{f_\text{s}}{2} < f < +\frac{f_\text{s}}{2}$$

The original signal spectrum is the same as the sampled spectrum, but with all images, that had appeared due to sampling, discarded.

The transfer function of this LTI system, which we call the Zero-order hold (ZOH), is the Laplace Transform of the impulse response:

$$\begin{align} H_\text{ZOH}(s) & = \mathscr{L} \{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ & \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} h_\text{ZOH}(t) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_0^T \frac{1}{T} \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \frac{1}{T} \quad \frac{1}{-s}e^{-s t}\Bigg|_0^T \\ & = \frac{1-e^{-sT}}{sT} \\ \end{align}$$

The frequency response is obtained by substituting $j 2 \pi f \rightarrow s$

$$\begin{align} H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) & = \frac{1-e^{-j2\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT) \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}\left(\frac{f}{f_\text{s}}\right) \\ \end{align}$$

This indicates a linear phase filter with constant delay of one-half sample period, $\frac{T}{2}$, and with gain that decreases as frequency $f$ increases. This is a mild low-pass filter effect. At DC, $f=0$, the gain is 0 dB and at Nyquist, $f=\frac{f_\text{s}}{2}$ the gain is -3.9224 dB. So the baseband image has some of the high frequency components reduced a little.

As with the sampled signal $x_\text{s}(t)$, there are images in sampled signal $x_\text{DAC}(t)$ at integer multiples of the sampling frequency, but those images are significantly reduced in amplitude (compared to the baseband image) because $|H_\text{ZOH}(j 2 \pi f)|$ passes through zero when $f = k\cdot f_\text{s}$ for integer $k$ that is not 0, which is right in the middle of those images.

Concluding:

1. The Zero-order hold (ZOH) is a linear time-invariant model of the signal reconstruction done by a practical Digital-to-Analog converter (DAC) that holds the output constant at the sample value, $x[n]$, until updated by the next sample $x[n+1]$.

2. Contrary to the common misconception, the ZOH has nothing to do with the sample-and-hold circuit (S/H) one might find preceding an Analog-to-Digital converter (ADC). As long as the DAC holds the output to a constant value over each sampling period, it doesn't matter if the ADC has a S/H or not, the ZOH effect remains. If the DAC outputs something other than the piecewise-constant output (such as a sequence of narrow pulses intended to approximate dirac impulses) depicted above as $x_\text{DAC}(t)$, then the ZOH effect is not present (something else is, instead) whether there is a S/H circuit preceding the ADC or not.

3. The net transfer function of the ZOH is

   $$H_\text{ZOH}(s) = \frac{1-e^{-sT}}{sT}$$ and the net frequency response of the ZOH is $$H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT)$$ Many textbooks leave out the $T$ factor in the denominator of the transfer function and that is a mistake.

4. The ZOH reduces the images of the sampled signal $x_\text{s}(t)$ significantly, but does not eliminate them. To eliminate the images, one needs a good low-pass filter as before. Brickwall LPFs are an idealization. A practical LPF may also attenuate the baseband image (that we want to keep) at high frequencies, and that attenuation must be accounted for as with the attenuation that results from the ZOH (which is less than 3.9224 dB attenuation). The ZOH also delays the signal by one-half sample period, which may have to be taken in consideration (along with the delay of the anti-imaging LPF), particularly if the ZOH is in a feedback loop.