Чому швидкість передачі даних Nyquist нижча за швидкість передачі даних Шеннона?

У книзі Комп'ютерні мережі автор розповідає про максимальну швидкість передачі даних каналу. Він представляє формулу Найкіста:

C = 2H log V (біт / с)$_2$

І наводить приклад для телефонної лінії:

безшумний 3-кГц канал не може передавати двійкові (тобто дворівневі) сигнали зі швидкістю, що перевищує 6000 біт / с.

Потім він пояснює рівняння Шеннона:

C = H log (1 + S / N) (біт / сек)$_2$

І наводить (знову ж) приклад для телефонної лінії:

канал шириною смуги 3000 Гц із співвідношенням сигнал / тепловий шум 30 дБ (типові параметри аналогової частини телефонної системи) ніколи не може передавати набагато більше 30 000 біт / с.

Я не розумію, чому коефіцієнт Найквіста набагато нижчий за показник Шеннона, оскільки частота Шеннона враховує шум. Я здогадуюсь, що вони не представляють однакової швидкості передачі даних, але книга не пояснює це.

Щоб зрозуміти це, спочатку ви повинні зрозуміти, що передані біти не повинні бути чисто бінарними, як це наведено в прикладі для ємності Nyquist. Скажімо, у вас є сигнал, який становить від 0 до 1В. Ви можете зіставити 0v до [00] .33v до [01] .66v до [10] та 1v до [11]. Отже, щоб врахувати це у формулі Nyquist, ви змінили "V" з 2 дискретних рівнів на 4 дискретні рівні, таким чином змінивши свою ємність з 6000 до 12000. Потім це можна зробити для будь-якої кількості дискретних значень.

Однак існує проблема з формулою Найкіста. Оскільки він не враховує шуму, немає способу дізнатися, скільки можливих дискретних значень. Тож Шеннон придумав метод, який по суті розмістив теоретичний максимум щодо кількості дискретних рівнів, які можна прочитати без помилок.

Тож у їхньому прикладі можна отримати 30 000 bps, вам доведеться мати 32 дискретні значення, які можна прочитати, щоб означати різні символи.

Швидкість передачі даних Nyquist (не частота Nyquist) - це максимальна швидкість для бінарного (2 дискретних рівня) сигналу.

Швидкість Шеннона враховує рівні сигналу, оскільки максимальна швидкість передачі даних не є лише функцією пропускної здатності - якщо можна використовувати нескінченну кількість рівнів сигналу, то швидкість передачі даних може бути нескінченною, незалежно від пропускної здатності.
Оскільки найменший приріст рівня може залежати від співвідношення сигнал / шум, саме тому він включений у швидкість Шеннона. Отже, для наведеного вище прикладу показано для смуги частот 3000 кГц та SNR 30 дБ, ви можете передавати рівні, що представляють 5 біт інформації кожен.

Коефіцієнт потужності 30 дБ = 1000 до 1 може бути перетворений назад на напругу на sqrt (1000) = ~ 32 розрізнених рівня (5 біт). Якщо застосувати це до більш простої теореми Хартлі, то отримаємо 2B * log2 (32) = 30 кГц для B = 3 кГц. Отже, 5 біт інформації, що перевищує швидкість передачі даних Nyquist 2B (= 6000 в цьому прикладі), дорівнює 30 000 біт / сек.

Один описує швидкість вибірки, інший - скільки даних ви можете передати. Мінімальна необхідна частота вибірки - це лише функція найвищої частоти, яку ви хочете правильно представити. Це не залежить від кількості шуму на каналі. Однак з меншим рівнем шуму ви можете передавати більше інформації на зразок. По-іншому, Nyquist каже, яка повинна бути швидкість вибірки, а Шеннон каже, скільки біт ви отримаєте за зразок.