Доказ того, що кожна схема з діодами має рівно одне рішення

11

Розглянемо електронну схему, що складається з лінійних компонентів плюс ряд ідеальних діодів. Під "ідеалом" я маю на увазі, що вони можуть бути або упередженими (тобто і ), або зворотно зміщеними (тобто і ). $v_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $i_D=0$

Ці схеми можна обчислити, довільно оголосивши кожен діод або вперед, або назад, і встановивши для кожного діода, що вперед, для кожного діода з упередженим зміщенням. Після того, як отриманий лінійний ланцюг був обчислений, ми повинні перевірити, чи кожен зміщений вперед, і кожен контрольний діод . Якщо так, то це наше рішення. Якщо ні, ми повинні спробувати інший набір діодів. Отже, для діодів ми можемо обчислити ланцюг, обчисливши максимум лінійних ланцюгів (зазвичай набагато менше). $v_D=0$ $i_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $N$ $2^N$

Чому це працює? Іншими словами, чому завжди є один вибір, який призводить до прийнятного рішення, і (що цікавіше), чому ніколи не існує двох варіантів, які приводять до дійсних рішень?

Слід довести, що на тому самому рівні жорсткості, з яким, наприклад, теорема Тевеніна доведена в підручниках.

Посилання на доказ у літературі також буде прийнятною відповіддю.

circuit-analysis diodes

— Стефан
джерело

1

Тому що фізичний ланцюг може одночасно знаходитися в одному стані. Це не квантова механіка ...

— Євген Ш.

3

@EugeneSh. Це правда, але це не те, що задають ОП. Деякі схеми можуть знаходитися в будь-якому одному з ряду різних станів із заданими зовнішніми умовами. Питання полягає в тому, щоб довести, що існує лише один такий стан для класу схем, який описує ОП.

— Дейв Твід

5

@Eugene Sh .: наприклад, фліп-флоп (або будь-яка двостабільна схема) є контрприкладом схеми, яка має більше ніж одне рішення. Якщо не вказано "однакового первинного стану", ви повинні взяти на себе будь-які умови і подивитися, які стабільні рішення доступні, і тоді ви виявите, що деякі схеми мають лише один, незалежно від початкових умов (наприклад, лінійних ланцюгів), а інші мають більше одного .

— Сир

1

@EugeneSh. Суть у тому, щоб довести, що стійкість поведінки діодного ланцюга не залежить від початкових умов, існує лише одне стабільне рішення. На відміну від триггера, який має безліч стабільних рішень і може використовуватися як елемент пам'яті ("початкові умови" - це запис пам'яті).

— Еван

2

@EugeneSh. Справа не в тому, що нелінійна схема може бути у чітко визначеному стані з огляду на початкові умови, а навпаки. Теорема, на яку посилається ОП, гарантує, що існує лише одне рішення незалежно від початкових умов , що є досить властивим для нелінійного кола.

— Лоренцо Донаті - Codidact.org

3

Я припускаю, що це для надуманої проблеми, коли існує схема з відомими пасивами, деякі I та V та плями, позначені для діодів невідомого напрямку. Моя відповідь:

Сподіваємось, творці проблем обмежилися випадками, коли їхні припущення призводять до висновків.

Теоретично це може бути нерозв'язним, якщо діод буде стороннім; розглянемо заземлення обох сторін діода. Можуть бути нетривіальні випадки з використанням віртуальних підстав або інших рівних напруг, які важко помітити.

Там, безумовно, можуть існувати дійсні схеми, які відрізняються лише напрямком діода для будь-якого значення "дійсної схеми", що включає діоди. Розгляньте моделювання вимикачів за допомогою тих ідеальних діодних правил, як ви можете вирішити, чи потрібно було комутатор увімкнути чи вимкнути? Сподіваємось, що задані струми та напруги дають достатньо підказки. І, сподіваємось, вони не дали вам суперечливих підказок.

Це перекладає питання на "Як ви можете визначити, чи є в екземпляра достатньо інформації, щоб бути унікальною?" Я пам’ятаю, що відповідь - це щось на кшталт того, що тобі потрібен один незалежний дані для кожної незалежної невідомої, але я впевнений, що не міг цього довести або придумав загальний тест на незалежність будь-якого.

2

Для ідеальних діодів може бути кілька рішень.

Тривіальний контрприклад: візьміть будь-яку схему, що містить ідеальні діоди, які ви вирішили. Тепер замініть один із ідеальних діодів на, якщо проводять вперед, пару діодів, з'єднаних паралельно, або якщо зворотно зміщені, пару послідовно, зберігаючи орієнтацію в будь-якому випадку. Як ви вирішуєте розподіл струму чи напруги між ними? Ви не можете, ідеальна діодна модель призводить до опуклого корпусу рівноправних рішень.

— Бен Фойт
джерело

1

Ви дійсно розтягуєте тут визначення "ланцюга". Два послідовно обернених ідеальних діода створюють між собою ізольований вузол, а два ідеально діоди, орієнтовані вперед, паралельно створюють ізольований контур. Це не корисно в контексті питання.

— Дейв Твід

@DaveTweed: Яким чином постмодифікація схеми є менш ланцюговою, ніж це було до внесення змін?

— Бен Войгт

2

Це не так, але ваша модифікація не створює корисних відмінностей. Якщо два ідеальних діоди приєднуються до пари вузлів ланцюга, єдине, що має значення, - це загальна напруга або загальний струм між цими вузлами; розподіл напруги чи струму між діодами окремо не має жодного наслідку. А кидання в нерелевантному терміні на кшталт «опуклий корпус» - це просто чиста технологія.

— Дейв Твід

Це дуже корисно, оскільки показує, що немає ніякої надії на доказ унікальності без додаткових припущень. Зрозуміло, наступне питання полягає в тому, чи достатньо виключити два діоди підряд і два діоди паралельно, чи є зустрічні приклади більшої складності.

— Стефан

1

Я не маю суворих доказів, але загальна думка полягає в тому, що поки компоненти схеми мають VI криві, які є однозначними функціями (сюди входять діоди, а також лінійні компоненти), може бути лише одне рішення схема загальна.

— Дейв Твід
джерело

Вид індукції на суперпозиції. Базовим корпусом буде однодіодний контур, який легко показати, маючи єдине рішення. Тоді крок індукції для показу комбінації базових схем мають єдиний розчин.

— Євген Ш.

1

Однак ідеальний діод, обговорюваний у рівнянні , не має однозначної IV кривої.

— Бен Войгт

@BenVoigt: У роботі з ідеальними компонентами та пов'язаними з ними нулями та нескінченностями, ви повинні бути обережними. Поняття граничних значень має вирішальне значення: опір прямого руху нескінченно малий, але не дорівнює нулю, а зворотна провідність також нескінченно мала, але не дорівнює нулю. Якщо розглядати таким чином, рівняння дійсно однозначне.

— Дейв Твід

1

Я думаю, що це досить просто:

Ви можете розглядати прямі упереджені ідеальні діоди як шорти, а зворотні зміщені ідеальні діоди як відкриті ланцюги. Тож у будь-якому випадку ви отримуєте схеми лише з лінійними компонентами (оскільки всі діоди або вирішуються на відкриті ланцюги, або на шорти), і, як відомо, лінійні схеми мають рівно одне рішення.

— Сир
джерело

3

Але для кожного з цих схем буде рішення - як ви докажете, що лише один є послідовним?

— Бен Войгт

@Ben Voigt: добре, я розумію. Це ще не доведено (і, мабуть, це основна робота)

— Curd

1

З Вікіпедії запису рядків

Є лише одне унікальне рішення через характер проблеми. Найкраще це проілюстровано графічно, у вигляді навантажувальних ліній. У діода є рівняння, яке описує співвідношення між струмом, що проходить через нього (вісь y), і напругою по ньому (вісь x). Тут вісь x - це напруга на діоді.

Подивіться, що відбувається зі струмом через резистор, коли напруга на діоді змінюється. Якщо напруга через діод Vdd, то не буде падіння напруги через резистор, оскільки напруга через резистор та діод має дорівнювати Vdd), і таким чином через резистор буде струм нульового струму (Закон Ома). Точно так само, якби при нульовому падінні напруги через діод був би Vdd через резистор, а струм через резистор був би Vdd / R.

Тепер ми знаємо, що це нереальні ситуації, оскільки струм в діоді та резисторі повинен бути рівним. Враховуючи рівняння для резистора (лінійного) та рівняння для діода (нелінійне, але монотонне зростаюче), ми можемо побачити на графіку, що це може статися лише в одній унікальній точці, перетині двох кривих.

Таким чином, одночасне рішення трьох рівнянь (резистор, діод і той факт, що два струму повинні бути рівними) дають використовувати одне унікальне рішення.

Цей метод буде працювати для всіх елементів схеми.

Для діодів із зворотним струмом це дещо інакше, оскільки струм резистора йде іншим шляхом, і до графіку потрібно додати квадрант.

— Скотт Сейдман
джерело

ІV-крива діода, яку ви показуєте, не є IV-кривою ідеального діода.

— Сир

@Curd: Враховуючи відсутність факторів масштабу, це досить близько. Дивіться мій коментар до Бена Фогта.

— Дейв Твід

1

Це хороше пояснення для випадку з одним діодом, але моя справжня проблема - справа з кількома діодами.

— Стефан

1

"Доказ" цього може працювати лише для певних схем. Якщо у вас є певний приріст, і єдиними нелінійними елементами є самі діоди, ви можете мати кілька можливих станів. Наприклад (може бути не найпростішим можливим прикладом).

Ця схема буде працювати з ідеально ідеально лінійним підсилювачем і вихід ніколи не відпадає до нескінченності або насичення, але при 0 В в ньому може бути приблизно +6 або приблизно -6 на виході, при цьому одна пара чи інша діоди ведуть . Він також буде працювати з «майже ідеальними» діодами, які мають падіння вперед при включенні та відсутність інших неприємностей.

схематичний

(і, звичайно, тунельні діоди - особливий випадок із їх немонотонною IV кривою).

Для доказу, ймовірно, доведеться вимагати лише пасивні елементи, такі як резистори (відсутні залежні джерела струму чи напруги). Або, можливо, лише з ідеальними діодами з 0V Vf.

— Спехро Пефаній
джерело

Хіба не ясно, що клас мікросхем, про який ми говоримо тут, виключає що-небудь із посиленням, наприклад, будь-які 3-кінцеві пристрої або пристрої з негативним опором?

— Дейв Твід

@DaveTweed Ні, це не так. Оригінальне запитання говорить про "лінійних компонентах", які не є досить обмежуючими, принаймні для діодів із падінням вперед. Типові питання підручника мають лише незалежні джерела напруги та струму та резистори та ідеальні або дещо ідеальні діоди. Реальні та корисні схеми зазвичай включають підсилювачі, IME.

— Spehro Pefhany

Я мав на увазі те, що ви описуєте як типові запитання підручника.

— Стефан

1

Ви маєте рацію, питання має бути "пасивним", якщо воно означає виключення активних, але лінійних елементів.

— Бен Войгт

0

Це не повний доказ, але, можливо, це допоможе вам:

Якщо є декілька рішень, є принаймні один діод, який може бути зсунутий вперед або назад. Розглянемо один такий діод. У заданому рішенні воно зсувається вперед або назад. Давайте визначимо напруги на його клемах, Va і Vb, таким чином, що якщо вони пересунуті вперед, Va> = Vb, а якщо вони зворотно зміщені, Vb> = Va. У випадку прямого або зворотного зміщення в прямому напрямку ланцюга (RotC) виробляє ці напруги на клемах діода.

Оскільки ви заявили, що схема складається з лінійних елементів та діодів, або RotC є суто лінійною мережею, або вона включає більше діодів.

Якщо RotC - суто лінійна мережа, вона має лише одне рішення, і єдиним рішенням обмежень Va> = Vb і Vb> = Va є те, що Va = Vb.

Якщо RotC включає більше діодів з декількома можливими рішеннями, розглянемо наступний такий діод. Знову ж таки, це або підключено до лінійної мережі, або до мережі з більшою кількістю діодів з декількома можливими рішеннями.

Якщо припустити, що в ланцюзі є кінцева кількість діодів ...

— ППротей
джерело