Чому середній квадрат кореня використовується для розрахунку середньої потужності, а не просто середнього напруги / струму?

28

P = I_{eff}^{2} \times R

$P = I_{\text{eff}}^2 \times R$ де - ефективний струм. Щоб потужність була середньою, повинен бути середнім струмом, тому я гадаю, що ефективний струм - це середній струм.

I_{eff}

$I_{\text{eff}}$

I

$I$

У такому випадку чому не просто $I_{\text{eff}}$

I_{eff} = \frac{1}{t} \int_{0}^{t} | i | d т

$I_{\text{eff}} = \frac{1}{t}\int_{0}^{t} |i|dt$

Замість цього він визначається так:

I_{eff} = \sqrt{\frac{1}{t} \int_{0}^{t} i^{2} d t}

$I_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{t}\int_{0}^{t} i^2dt}$

Таким чином, використовуючи ці два вирази для обчислення $P$ результатів у різних відповідях.

Чому це так? Це для мене немає сенсу. Я можу лише здогадуватися, що я неправильно трактую ефективний струм - це середній струм. Якщо це не так, однак я не бачу, як може бути середньою потужністю, коли не є середнім струмом. $P$ $I_{\text{eff}}$

power-supply power circuit-analysis

— Золоте ім'я
джерело

50

Для змінного струму середня напруга / струм дорівнює нулю.

— Роджер Роуленд

9

Потужність пропорційна поточному квадрату, а не величині струму.

— Чу

26

Тому що, якщо ви хочете середньої потужності , ви повинні обчислити потужність і середню її, а не те, що не є потужністю .

— Neil_UK

4

"Щоб енергія була середньою, я повинен бути середнім струмом" - саме там ви помиляєтеся.

— користувач253751

6

@drobertson "Корінний середній квадрат" = корінь середнього квадрата, який не є таким, як середнє значення кореня квадрата, а отже, не те саме, що середнє значення абсолютного значення.

— користувач253751

56

Візьмемо простий приклад, коли суми є тривіальними. У мене напруга становить 50% часу і вимикає 50% часу. Коли він включений, це 10В. Таким чином, середня напруга становить 5В. Якщо я підключую резистор 1 Ом поперек нього, він розсіюватиме 100 Вт, коли він увімкнено, і 0 Вт, коли він вимкнений. Таким чином, середня потужність становить 50 Вт.

Тепер залишайте напругу на весь час, але зробіть це 5В. Середня напруга все ще 5В, але середня потужність лише 25Вт. На жаль

Або припустимо, що у мене напруга лише на 10% часу, але це 50В. Середня напруга знову 5В, але потужність 2500Вт увімкнена, а 0Вт - при вимкненому, так що середня 250Вт.

Насправді для обчислення потужності в цілому вам потрібно інтегрувати (миттєву напругу) * (миттєвий струм) протягом періоду форми хвилі, щоб отримати середнє значення (або від 0 до деякого часу t, як у вашому прикладі, щоб знайти потужність за деякий інтервал) .

Якщо (і це велике, якщо) навантаження - це фіксований резистор R, ви можете сказати, що v = i * R, тому миттєва потужність i ^ 2 * R, і тоді ви можете інтегрувати i ^ 2 протягом періоду, щоб отримати " Струм RMS ", і помножте на R пізніше (оскільки він фіксований, він не входить в інтеграл).

Струм RMS не особливо корисний, якщо навантаження щось нелінійне, як діод. Це може бути корисно для аналізу втрат у чомусь на зразок конденсатора з заданою ШОЕ. Втрати (і внаслідок цього нагрівальний ефект, який скорочує термін служби конденсатора) будуть пропорційними струму RMS, а не середньому.

— Спехро Пефаній
джерело

34

Для того, щоб потужність була середньою, я повинен бути середнім струмом, тому я гадаю, що ефективний струм - це середній струм.

Коротше кажучи, середня напруга x середній струм дорівнює лише середній потужності, коли напруга та струм є величинами постійного струму. Подумайте про наступний приклад: -

Якщо ви застосували 230 В змінного струму від електричної розетки до нагрівального елемента, він нагріється або навіть нагріється. Отримати рахунок, за який ви можете отримати оплату. 230 В змінного струму - синусова хвиля, і всі синусоїди мають середнє значення нуля. Отриманий струм, що протікає через нагрівальний елемент, також є синусоїдою із середнім значенням нуля.

Отже, використовуючи середню напругу x середній струм, виробляється нульова середня потужність і явно це неправильно. Саме напруга RMS x RMS струм дасть змістовну відповідь (незалежно від того, це постійний або змінній).

Ви повинні повернутися до основ і запитати себе, яка потужність - це напруга х струм, і це миттєві значення, помножені разом. Це призводить до такої форми сигналу живлення:

Через акт множення, сигнал хвилі потужності тепер має середнє значення, яке не є нульовим . Зробивши цей крок далі, якщо резистор навантаження становив 1 Ом, то амплітуда струму буде дорівнює амплітуді прикладеної напруги, тому потужність стає середньою . $v^2$

Це призводить до того the mean of the square of voltage, що ми говоримо, що потужність (або струм), і, враховуючи, що в цьому прикладі ми вибрали 1 Ом, ми також можемо сказати, що ефективна напруга, яка виробляє цю потужність, є значенням square root of the mean of the voltage squaredабо "RMS".

$v_{pk}$ $v^2_{pk}$

$\dfrac{v^2_{pk}}{2}$ $\sqrt{\dfrac{v^2_{pk}}{2}}$ $\dfrac{v_{pk}}{\sqrt{2}}$

Насправді значення RMS напруги змінного струму (або струму) - це еквівалентне значення напруги постійного струму (або струму), яке справляє той же ефект нагріву в резистивному навантаженні.

Отже, ні, середня напруга або середній струм не мають значення, але середня потужність - це короля.

— Енді ака
джерело

Гарне пояснення

— groie

Зауважте, що середня потужність дорівнює часу напруги RMS, струму RMS тоді і тільки тоді, коли напруга та струм пропорційні.

— Пітер Грін

Чи означає це множення, що нерезистивні навантаження мають криву потужності, яка іноді є негативною? Чи означає це, що середнє значення потужності відрізняється від VRMS * IRMS? Чи пов'язана різниця з коефіцієнтом потужності?

— Випадково832

1

@ Random832 - здається, ваш коментар мав би прийти після мого, але так, я обережно зі словами не мав на увазі жодного фактора потужності, щоб уникнути зайвих ускладнень у відповіді. Потужність лише дорівнює Vrms x I rms у ланцюзі змінного струму для навантажень, що мають коефіцієнт PF 1.

— Енді ака

1

@anhnha так, загальний випадок завжди є продуктом миттєвого v і i. Насправді коефіцієнт потужності ніколи (сміливе слово використовувати) для розумного обчислення потужності. Я залишив безліч інших відповідей на цю тему, які ви, можливо, бачили.

— Енді ака

16

Чорт у деталях, коли ви відпрацьовуєте математику.

$P_\text{inst} = i^2 \cdot R$

P_{avg} = \bar{P_{inst}} = \bar{i^{2} \cdot R} = \bar{i^{2}} \cdot R = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^{2} d t \cdot R

$P_\text{avg}= \overline{P_\text{inst}} = \overline{i^2 \cdot R} =\overline{i^2} \cdot R = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2dt \cdot R$

P_{avg} = I_{eff}^{2} \cdot R

$P_\text{avg}=I_\text{eff}^2 \cdot R$

I_{eff}^{2} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^{2} d t

$I_\text{eff}^2 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt$

I_{eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^{2} d t}

$I_\text{eff} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt}$

\int_{a}^{b} i^{2} d t \neq [\int_{a}^{b} i d t]^{2}

$\int_{a}^{b}i^2 \ dt \neq\Big[\int_{a}^{b}i \ dt\Big]^2$

$\frac{1}{T}$

Підсумовуючи це, це тому, що математика не працює так.

— Аддісон
джерело

Це більш точна і правильна відповідь, ІМО.

— hcabral

4

Середня потужність - це лише інтеграл роботи протягом певного обмеженого періоду часу, поділений на цей часовий період. У вашому випадку кожен момент роботи - це:

d U = P_{t} \cdot d t = R_{t} \cdot I_{t}^{2} \cdot d t

$\textrm{d}U = P_t\cdot \textrm{d}t =R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$

Отже, ви інтегруєте це, щоб отримати загальну роботу протягом деякого кінцевого періоду, а потім, щоб перетворити це в середнє значення потужності, ви просто розділите його на кінцевий період. Або:

\bar{P} = \frac{1}{t_{1} - t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} R_{t} \cdot I_{t}^{2} \cdot d t

$\overline{P}=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$

$R_t$

\bar{P} = R \cdot \frac{1}{t_{1} - t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} I_{t}^{2} \cdot d t

$\overline{P}=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t$

$R\cdot I_{eff}^2$

\begin{aligned} \bar{P} = R \cdot I_{e f f}^{2} = R \cdot \frac{1}{t_{1} - t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} I_{t}^{2} \cdot d t \\ ∴ I_{e f f}^{2} & = \frac{1}{t_{1} - t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} I_{t}^{2} \cdot d t \end{aligned}

$\begin{align*} \overline{P}=R\cdot I_{eff}^2=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \\ \therefore~~~~~~~~~~~~~ I_{eff}^2 &=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \end{align*}$

It's just an equivalent substitution, right?

And then obviously:

\begin{aligned} I_{e f f} & = \sqrt{\frac{1}{t_{1} - t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} I_{t}^{2} \cdot d t} \end{aligned}

$\begin{align*} I_{eff} &=\sqrt{\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t} \end{align*}$

If you start things so that $t_0=0$ and set $t_1=t$ then you get your own equation. It's that easy, really.

— jonk
джерело

Nice clean answer. I am sure you would appreciate some digression into 2-norm of Hilbert's spaces too...

— carloc

3

Imagine two currents flow simultaneously through your load:

DC current of 1A
AC current with 1A amplitude

The total current will look something like this:

Now, if we apply your formula for $I_{eff}$ , we will get 1A, as if the AC component produced zero power. I hope you agree that this makes even less sense than the original formula.

— Dmitry Grigoryev
джерело

2

Consider $R=1\Omega$ and and a current of 1A for one second and 10A for another second. What's the average power?

Obviously, it is

\bar{P} = \frac{1 s \cdot 1 A^{2} \cdot 1 Ω + 1 s \cdot 10 A^{2} \cdot 1 Ω}{2 s} = 50.5 W

$\bar{P}=\frac{1s\cdot 1A^2\cdot 1\Omega+1s\cdot 10A^2\cdot 1\Omega}{2s}=50.5W$

Let's rewrite this:

\bar{P} = 1 Ω * \underset{= I_{e f f}^{2}}{\underset{⏟}{(\frac{1 s \cdot 1 A^{2} + 1 s \cdot 10 A^{2}}{2 s})}}

$\bar{P}=1\Omega*\underbrace{\left(\frac{1s\cdot 1A^2+1s\cdot 10A^2}{2s}\right)}_{=I_{eff}^2}$

On the other hand, the average current is 5.5A, which gives an "average power" of 30.25W.

The point is, the power formula contains the square of the current, so the effective current is higher than just the average of the (absolute value of) the current.

— sweber
джерело

2

Let me put this in more general terms: Instant power P(t) dissipated over a load is a product (in mathematical sense as multiplication) of V(t) and I(t). Or I(t)*I(t)/R for that matter. Average power is therefore an average[I(t)*I(t)]/R. The paradox is in the well-known mathematical theorem that an average of a product of variable functions is not equal to product of their averages,

[(V(t)I(t)] != [V(t)]*[I(t)];

equivalently,

[I(t)^2] != [I(t)]*[I(t)]

To illustrate this basic calculus problem to some extreme, assume that you have a resistor load of 1 Ohm, and the voltage is pulsed as 10V for 10% duty cycle, 10% up, 90% no voltage. The real dissipated power is 10V*10A = 100W for 10% of the duty cycle, and zero for the rest of duty cycle. So the average power dissipated by this resistor is 10W.

Now, if you take (or even measure!) the averages separately using separate meters, the average [V] of this pulsed waveform will come up as 1V, and the average of I will come as 1A. Multiplying the measured results one might come to a conclusion that the power consumed by this "device" is only 1W, which will be totally wrong by a factor of 10!!!.

This is a typical mistake in many disciplines and applications. For example this mistake is in the basis of many bogus claims of some magical water heaters that produce more output than the "consumed electricity" usually explained by "cold fusion", or some other BS. There are even patents granted on these "pulsed heaters".

— Ale..chenski
джерело