Коли потрібно або дозволено проводити вибірку нижче ставки Найквіста

Я шукав минулі питання та відповіді на цій платформі, але жоден не відповідає на це запитання. Професор сказав, що за певних умов можна зробити вибірку нижче ставки Найквіста. Мені хотілося б знати, по-перше, чи можна це зробити, якщо так, то коли?

Перш за все, давайте позбудемося неправильного уявлення про ставку Найкіста.

Зазвичай людей навчають, що мінімальна частота дискретизації повинна бути вдвічі більшою за найвищу частоту сигналу. Це абсолютно помилково!

Правда полягає в тому, що якщо у вас "повний" спектр, і під повним, я маю на увазі, що він повністю використовує всі частоти між нижньою межею його пропускної здатності та верхнім краєм його пропускної здатності, то вам потрібно мати частоту вибірки тобто щонайменше вдвічі більше пропускної здатності сигналу.

Отже, на малюнку тут частота вибірки повинна бути не менше 2 * (Fh-Fl), щоб отримати спектр.

Ви також повинні мати на увазі, що після вибору вибірки вся інформація про фактичну частоту втрачається у вибірковому сигналі. Тут грає вся історія про частоту Nyquist. Якщо частота дискретизації вдвічі перевищує найвищу частоту сигналу, то ми можемо сміливо припускати (як ми часто навчені робити підсвідомо), що всі частоти в вибірковому сигналі знаходяться між нулем і половиною частоти дискретизації.
Насправді спектр вибіркового сигналу є періодичним навколо Fs / 2, і ми можемо використовувати цю періодичність для досягнення нижчих частот дискретизації.
Погляньте на наступну картинку:
Область між 0 і Fs / 2 є так званою першою зоною Найквіста. Це сфера, де ми робимо «традиційний» вибірки. Далі подивіться на область між Fs / 2 та Fs. Це друга зона Найквіста. Якщо у нас є які-небудь сигнали в цій області, їх спектр буде вибірковим і його спектр буде перевернутий, тобто висока та низька частоти будуть перевернуті. Далі ми маємо третю зону Найквіста, між Fs та 3Fs / 2. Сигнали, взяті за вибірку, виглядатимуть так, ніби вони надійшли з першої зони, і їх спектр буде нормальним. Те саме стосується всіх інших зон, при цьому правило полягає в тому, що спектр з непарними номерами є нормальним, а спектр парних зон інвертований.

Тепер це суперечить «традиційним» правилам щодо згладжування, оскільки зазвичай згладжування відбувається як деяка зла монстр, яка приходить, щоб з'їсти ваші сигнали, і щоб вам позбутися від неї, потрібно використовувати фільтри низького проходу. У реальному житті це не так, як все реально працює. Фільтри згладжування насправді не можуть запобігти згладжуванню, вони просто знижують його до рівня, коли це вже не має значення.
Ми дійсно хочемо зробити це замість цього - усунути будь-який сильний сигнал із зон Nyquist, які не представляють інтересу, і пропустити сигнали із цікавої для нас зони Найквіста. Якщо ми перебуваємо в першій зоні, тоді фільтр низьких частот чудово, але для всіх інших зон нам потрібен смуговий фільтр, який дозволить нам отримати корисні сигнали з цієї зони та видалити непотрібні, які ми не робимо Не потрібно, що це надходить з інших зон.

Отже, давайте подивимось на цей приклад: Тут у нас є сигнал в третій зоні Найквіста, який пропускається через смуговий фільтр. Нашому АЦП потрібно буде мати лише частоту дискретизації вдвічі більше пропускної здатності сигналу для його реконструкції, але ми завжди повинні мати на увазі, що це насправді сигнал з третьої зони, коли нам потрібно обчислити частоти всередині нашої сигнал. Цю процедуру часто називають смуговим відбором проб або підкресленням.

Тепер, після всієї цієї експозиції, щоб відповісти на ваше запитання, коли:
Ну, давайте подивимось на радіо, можливо, щось у мікрохвильовому спектрі, можливо, WiFi. Типовий WiFi канал старого стилю може мати пропускну здатність 20 МГц, але частота несучої буде приблизно 2,4 ГГц. Отже, якщо ми будемо використовувати наївний підхід до прямого відбору сигналу, нам знадобиться 5 ГГц АЦП, щоб побачити наш сигнал, хоча нас цікавлять лише 20 МГц спектру. Аналогово-цифровий перетворювач 5 ГГц - це дуже складне і дороге, а також вимагає дуже складного і дорогого дизайну. З іншого боку, АЦП 40 МГц - це не таке "магічне", як АЦП 5 ГГц.
Одне, що потрібно пам’ятати, це те, що, хоча теоретично ми могли зафіксувати сигнал за допомогою АЦП 40 МГц, нам знадобляться дуже гострі фільтри для згладжування, тому на практиці ми не хочемо запускати вибірку частота занадто близька до пропускної здатності. Ще одна річ, яку також не помічено, це те, що схема АЦП в реальному житті поводиться як фільтр самостійно. Ефекти фільтрації АЦП необхідно враховувати під час відбору проб. Досить часто існують спеціальні АЦП з пропускною здатністю, значно ширшими, ніж частота дискретизації, спеціально розроблені з урахуванням пробірки пропускної здатності.

Нарешті, є й інша сторона історії, яка також називається стислим зондуванням. Я не фахівець у цьому, і це щось ще щось нове, але основна ідея полягає в тому, що якщо виконані певні припущення (наприклад, що спектр є розрідженим), ми можемо проводити вибірку на частотах, навіть нижчих удвічі більше пропускної здатності. сигналу.

Отже, багато людей, у тому числі професори, плутаються з приводу того, що таке ставка Найквіста:

Найквістська швидкість - це частота вибірки, яку потрібно мати для вибірки сигналу, щоб уникнути його пошкодження шляхом збитку

Це означає, що для реально оцінених сигналів та реального значення вибірки швидкість вибірки повинна бути більше ніж удвічі більша за пропускну здатність аналогового сигналу.

Це означає, що зі швидкістю вибірки 6 кГц ви можете отримати 100% представлення будь-якої діапазону шириною 3 кГц.

Це робить не означає, що частота дискретизації повинна бути вдвічі більшою частотою в сигналі. Якщо ваші 3 кГц, наприклад, є діапазоном між 9 кГц і 12 кГц, вам не доведеться проводити вибірку на частоті 2 · 12 кГц = 24 кГц; 6 кГц цілком достатньо, щоб однозначно представити сигнал в цифровому вигляді. Вам все одно потрібно знати, що ваші 3 кГц були зосереджені приблизно на 10,5 кГц, якщо ви хочете пізніше пов’язати це з іншими сигналами, але зазвичай це не має значення.

Ми називаємо цю техніку недооціненою , і вона прекрасно працює, і це 100% стандартна методика з багатьма технічними додатками. Все, що вам потрібно бути впевненим, - це те, що все, що бачить ваш АЦП (аналого-цифровий перетворювач), обмежено до половини його частоти дискретизації - це означає, що у вищезгаданому прикладі ви повинні бути впевнені, що немає сигналу нижче 9 кГц і немає сигнал вище 12 кГц.

складна базова смуга

Зауважте, що це справедливо лише для відбору реальних цінностей. Якщо ви використовували такі речі, як демодулятори IQ (також відомі як змішувачі прямого перетворення , квадратурні демодулятори ) для отримання складної, еквівалентної базової смуги , ви отримуєте два потоки синхронних зразків. У цьому випадку коефіцієнт 2 відпадає. Це дуже важливий аспект для програмно визначених радіо .

багатофазні структури

Якщо ви перебуваєте в пізніших частинах курсу DSP, ваш професор, можливо, натякнув на те, що ви можете реалізувати такі речі, як раціональні перепробовники, де вам зазвичай доведеться збільшити вибірку на коефіцієнт M, а потім відфільтрувати, щоб видалити всі зображення (фільтр працює з вхідною швидкістю · M), потім фільтруйте, щоб уникнути всіх псевдонімів (фільтр працює зі швидкістю введення · М) перед тим, як знизити дискретизацію на N, з одним фільтром, який ефективно працює на 1 / N швидкості введення - що насправді є суб -Ніквістський відбір проб. Але це, в основному, буде одним із важливих моментів лекції з багатофазних / багатосторонніх систем, і я сумніваюся, що він виклав це там у курсі для початківців - це занадто заплутано.

Ніколи. Але вам потрібно переконатися, що ви точно розумієте, що насправді "ставка Найквіста".

Nyquist заявив, що ви можете реконструювати сигнал, поки він відбирається із швидкістю, що перевищує пропускну здатність, що перевищує вдвічі більше. сигналу. Ця пропускна здатність може або не може починатися з постійного струму, але багато джерел на цю тему припускають, що це завжди так, і що найвища частотна складова сигналу визначає швидкість Найквіста.

Наприклад, якщо у вас є сигнал широкомовної передачі AM на частоті 1 МГц, обмежений діапазоном ± 10 кГц, частота Найквіста для нього становить 2 × 20 кГц = 40 кГц, а не 2 × 1,01 МГц = 2,02 МГц.

Професор сказав, що за певних умов можна зробити вибірку нижче ставки Найквіста.

Якщо все, що вас цікавить, - це обчислити значення RMS у формі хвилі, то ви можете зробити вибірку нижче nyquist: -

Синя форма хвилі - це також синусоїда, яка має те саме значення RMS, що і вихідне. Чого вам слід уникати, це:

Рівно два зразки беруть на кожен цикл, і неможливо дізнатися, чи був пошкоджений сигнал насправді червоною або зеленою формою хвилі.

Критерій найквіста говорить про те, як часто потрібно робити вибірку, щоб реконструювати сигнал з обмеженою смугою. Однак жоден фізичний сигнал не обмежений діапазоном, це лише ідеалізація. Інші схеми працюватимуть для вибірки інших ідеалізованих сигналів. Надаючи вам апріорну інформацію про сигнал (про те, що він обмежений смугою), Nyquist розповідає вам, як реконструювати весь сигнал з кількох зразків. Якщо я дам вам іншу апріорну інформацію, ви можете зробити краще, ніж нейкіст. Ось приклад: мої ідеалізовані сигнали є лінійно лінійними. Потрібно лише взяти вибірку цих сигналів у точках їх перегину: набагато менше зразків, ніж одна потреба для смугових обмежених сигналів. Щоб відновити весь сигнал, проведіть прямі лінії між точками вибірки. Ви можете назвати це критерієм "Linequist". :)

Періодичний сигнал може бути відібраний за допомогою частоти дискретизації суб-ніквістів. Це добре експлуатується в осцилоскопах. Там зберігається один зразок для кожного повторення сигналу, але в іншому положенні періоду. Потрібно 512 зразків? тоді потрібні 512 повних периона сигналу.

Точність:

Неважко помітити, що нерухомий синусоїда може бути зафіксований таким чином. Але ці 512 зразки повинні охоплювати сигнал. Це вірно, якщо 256-та і верхня гармоніка можна вважати нулями.

Іноді це робиться навмисно, наприклад, в осцилоскопі для відбору проб (не такий, як у DSO, хоча деякі DSO також здійснюють вибірку, але осцилоскоп для відбору зразків може бути цілком аналоговим пристроєм, і він будувався з 1950-х років), щоб боротися з періодичними сигнали, що мають занадто високу частоту, щоб бути економічними для посилення або іншим способом лікування за допомогою лінійної схеми - існує не так багато ЕЦП осцилоскопа (ред.), які можуть працювати з сигналом 1 ГГц в сирому режимі (деякі існують!), проте 1 ГГц було легко впоратися підкреслення навіть за технологією 1960-х років. Зрештою, вся система поводиться аналогічно (не тотожно) до гетеродінізуючого приймача. Незважаючи на те, що LO не існує безперервної хвилі високої частоти, все ще є компонент дуже високої частоти, прихований (і використовується) в використовуваних тактових частотах вибірки:

Очевидно, що неперіодичний сигнал не може бути досліджений таким чином, і сигнал з доданими компонентами значно нижчої частоти може бути ретельно представлений і / або неправильно інтерпретований.

Я думаю, що те, що сказав [rackandboneman], відповідає наміру професора. "Певна умова" полягала б у тому, що початковий сигнал повинен бути періодичним.

Ось код, який показує, як реконструювати вихідний сигнал із недостатньо вибіркового сигналу. Первісний сигнал потребує 1/100 періоду вибірки для відновлення його унікальної картини (хоча його основна частота становить 8/100). Під час вибірки з періодом вибірки 1,5 / 100 сек оригінальний сигнал сигналу реконструюється майже ідеально з періодом вибірки реконструкції 0,5 / 100. (Незабаром, 0,5 / 100 періоду відбору проб робиться з 1,5 / 100 періоду відбору проб.)

dt = 1/1000;
t = 0:1/1000:1.28-1/1000;
x1 = 10000*t(1:20).^2;
x2 = -10000*(t(21:40)-0.04).^2+8;
x3 = 8*ones(1,20);
x4 = -800*t(61:70)+56;
x5 = zeros(1,10);

x = [x1 x2 x3 x4 x5] ; 
x = [x x x x];
x = [x x x x];  % make x to be periodic

dtz = 1.5/100;
tz = 0:dtz:1.28-1/1000;
z = x(1: round(dtz/dt) : end);
figure('Name', 'undersampled signal');
plot(tz,z,'o',t,x,'-')
legend('Under sampled signal', 'The original signal')

figure('Name', 'Reconstructed signal');
plot(t(1:5:160),z(mod((0:31)*11,16)+1), 'o-',t(1:160),x(1:160), '-');
legend('Reconstructed signal', 'The original signal')

Якщо сигнал дискретизується зі швидкістю S, будь-який вміст із частотою f буде не відрізнятись від будь-якого іншого вмісту з частотою NS + f або NS-f для деякого цілого числа N.

Чи достатня дана частота вибірки буде залежати від того, чи існують дві частоти, зміст яких потрібно розрізнити, але не можна.

Якщо один, наприклад, стосується лише сигналів в діапазоні 700-800 Гц, вхід буде позбавлений вмісту нижче 300 Гц або вище 1200, а наявність інших сигналів не спричинить відсікання, частота вибірки 1000 Гц була б достатньою без будь-яких попередніх фільтрація, незважаючи на наявність вмісту, загальна пропускна здатність якого становить 900 Гц. Вміст в діапазоні 300 Гц-700 ГГц не відрізнятиметься від вмісту в діапазоні 800 Гц-1200 ГГц, але якщо хтось не переймається будь-яким подібним контентом, це не має значення.