Складні імпеданси

10

Що означає мати складний опір?

Наприклад, імпеданс конденсатора (в області Лапласа?) Задається 1 / sC (я вважаю), що дорівнює де перехідні знехтувати. Що означає імпеданс бути уявним? $\dfrac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot f \cdot C}$

Зараз я перебуваю на 2-му курсі електротехніки в університеті, тому, якщо можливо, я буду вдячний за математично обґрунтовану та ретельну відповідь, якщо це не надто багато проблем, з ідеальним посиланням на навчальний матеріал (веб-та паперові ресурси).

Заздалегідь спасибі.

impedance

— JonaGik
джерело

7

Ви не вивчаєте саме це на своїх курсах? Напевно у вас вже є підручник чи два, який детально розглядає це питання. Це дуже широка тема, на яку важко відповісти без конкретнішого запитання.

— Олін Латроп

Додатковий ресурс

— clabacchio

Здається, я вважаю, що підручники вже відомі з попередніх курсів (і ми цього не вчили). На додаток до цього, мої викладачі відміняли своє замовлення, тому, ймовірно, ми будемо його викладати пізніше, але не раніше, ніж нам це потрібно.

— JonaGik

Здається, що ваш кузов залишив багато тем недоторканими, і це дуже незручно для інженерного курсу ...

— clabacchio

10

TL; DR Уявна частина імпедансу повідомляє про реактивну складову імпедансу; це відповідає (серед інших) за різницю фаз між струмом і напругою та реактивної потужністю, що використовується ланцюгом.

Основний принцип полягає в тому, що будь-який періодичний сигнал може трактуватися як сума (іноді) нескінченних синусоїд, званих гармоніками, з однаково розташованими частотами. Кожен з них може трактуватися окремо, як власний сигнал.

Для цих сигналів ви використовуєте подання, подібне до:

v (т) = V_{0} \cos (2 π f т + ϕ) = ℜ {V_{0} е^{j 2 π f т + ϕ}}

$v(t) = V_{0} \cos (2 \pi f t + \phi) = \Re \{ V_{0}e^{j 2 \pi f t + \phi} \}$

І видно, що ми вже заскочили в область складних чисел, тому що ви можете використовувати складний показник для зображення обертання.

Отже імпеданс може бути активним (опір) або реактивним (реактивним); в той час як перший за визначенням не впливає на фазу сигналів ( ) реактивності, тому за допомогою складних чисел можна оцінити варіацію фази, що вводиться реактивністю. $\phi$

Отже ви отримуєте:

V = Я \cdot Z = Я \cdot | Z | \cdot е^{j θ}

$V = I \cdot Z = I \cdot |Z| \cdot e^{j \theta}$

де | Z | - величина опору, задана:

| Z | = \sqrt{R^{2} + X^{2}}

$|Z|=\sqrt{R^2+X^2}$

і тета - фаза, введена імпедансом, і задається:

θ = \arctan (\frac{X}{R})

$\theta = \arctan \left( \frac{X}{R} \right)$

При застосуванні до попередньої функції вона стає:

v (t) = ℜ {Я_{0} | Z | е^{j 2 π f т + ϕ + θ}} = Я_{0} | Z | \cos (2 π f т + ϕ + θ)

$v(t) = \Re \{ I_{0}|Z|e^{j 2 \pi f t + \phi + \theta } \} = I_{0} |Z| \cos (2 \pi f t + \phi + \theta )$

Розглянемо ідеальний конденсатор: імпеданс буде що є уявним і негативним; якщо помістити його в тригонометричну окружність, ви отримаєте фазу -90 °, це означає, що при чисто ємнісному навантаженні напруга буде відставати на 90 ° від струму. $\frac{1}{j \omega C} = -\frac{j}{\omega C}$

Так чому?

Скажімо, ви хочете підсумовувати два опори, 100 Ом і 50 + i50 Ом (або, без складних чисел, ). Потім за допомогою складних чисел ви підсумовуєте дійсну і уявну частину і отримуєте 150 + i50 Ом. $70.7 \angle 45 ^\circ$

Без використання складних чисел річ є досить складною, оскільки ви можете або використовувати косинуси і синуси (але це те саме, що використовувати складні числа тоді), або потрапити в безлад величин і фаз. Тобі вирішувати :).

Теорія

Деякі додаткові поняття, намагаючись вирішити ваші питання:

Представлення гармонік сигналів зазвичай вирішується розкладанням рядів Фур'є :

v (t) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j n t}, where c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} v (t) e^{- j n t} d t

$v(t) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} c_{n}e^{jnt} , \text{ where } c_{n} = \frac{1}{2 \pi } \int_{-\pi}^{\pi} v(t)e^{-jnt} \, dt$

Складний показник пов'язаний з косинусом також за формулою Ейлера :

c о с (х) = \frac{е^{i х} + е^{- i х}}{2}

$cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

— клабаччо
джерело

Дуже дякую за вашу відповідь. Щодо рівняння v (t), просто для уточнення, ви маєте на увазі v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + ... + vn cos (2pi fn t + phi) (оскільки сигнал може бути представлений як можливо нескінченна кількість синусоїд різної частоти)? Тоді ви отримаєте R (V0 exp (j2pift + phi)) доданок від cos (x) = 0,5 exp (ix) + 0,5 exp (-ix)? Якщо це так, то куди йде термін 0,5 exp (-2pift ...)? Крім того, у вашому рівнянні закону Ома, мабуть, V (t) оцінює дійсне вираження, але exp (j omega) ні, так як це працює? Знову дякую.

— JonaGik

MMH багато питань :). Про перше, не зовсім: перевірити подання серії Фур'є, але теоретично можливі й інші розклади; про експонентність, так, це ейлерівська еквівалентність. Те саме стосується останнього питання: складний показник дає обертання, але тоді він бере лише реальну роль.

— clabacchio

Нічого, це швидка відповідь! Чому береться лише реальна частина? Математично це не здається. Знову дякую.

— JonaGik

Це те, чого мені не вистачає? "Aexp (я omega) ... розуміється як скорочення, що кодує амплітуду та фазу основної синусоїди." від en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . Чи існує думка про те, що подання комплексного числа є скороченим для подання кута (фази) та величини?

— JonaGik

@JonaGik так, це зручне представлення синусоїдальних сигналів, як говорить і вікі-сторінка. Я б сказав, що кожен математичний об'єкт - це стенограма для представлення або вирішення якоїсь реальної проблеми ...

— clabacchio

4

Я впевнений, що це не відповість повністю на ваше запитання, насправді я сподіваюся, що це доповнить відповіді, які вже були надані, які, здається, нехтують: концепція використання складних чисел (що, як уже було сказано, є лише фантазійною назвою для типу математичної "кількості", якщо хочете).

Перше головне питання, на яке ми повинні відповісти, - це чому складні числа. І щоб відповісти на це запитання, ми повинні зрозуміти необхідність різних наборів чисел, від натуральних до реальних чисел.

З ранніх віків натуральна кількість дозволяла людям рахувати, наприклад, яблука та апельсини на ринку. Потім цілі числа були введені для вирішення поняття "в борг" за допомогою від'ємних чисел (це було важко зрозуміти на той час). Тепер речі стають цікавішими за раціональних чисел та необхідності представляти «величини» дробами. Цікавим для цих чисел є те, що нам потрібно два цілих числа, а не лише одне (як у натуральних і цілих чисел), наприклад 3/8. Цей спосіб представлення "кількості" є дуже корисним, наприклад, для опису кількості скибочок (3), залишених у 8 пиріжках з шматочками, коли 5 вже було з'їдено :) (ти не міг цього зробити цілим числом!).

Тепер перескочимо нераціональні та дійсні числа і перейдемо до складних чисел. Інженери електроніки постали перед завданням описати та керувати різним типом "кількості", синусоїдальної напруги (та струму) в лінійному ланцюзі (тобто, виготовленому з резисторів, конденсаторів та індукторів). Здогадайтеся, що вони виявили, що складні числа - це рішення.

$\omega$ $\phi$

у (т) = А \cdot с i н (ω т + ϕ)

$y(t) = A \cdot sin(\omega t + \phi)$

$\omega$

$\frac{1}{j \omega C}$

ОНОВЛЕННЯ

Також є деякі зауваження, які я дуже рекомендую прочитати "Вступ до складного аналізу для інженерів" Майкла Д. Олдера. Це дуже доброзичливий підхід до теми. Зокрема, рекомендую перший розділ.

— гманьо
джерело

2

Використання складних чисел - математичний спосіб представлення як фазних, так і поза фазових компонентів - струму щодо напруги. Уявний імпеданс не означає, що імпедансу не існує, це означає, що струм і напруга перебувають поза фазою один з одним. Так само реальний імпеданс не означає реального в повсякденному розумінні, просто те, що струм знаходиться у фазі з напругою.

— Мартін
джерело

Я розумію ці ідеї концептуально, мені просто цікаво, як насправді працює складний імпеданс - у чому полягає математична причина його складності та як вона виводиться?

— JonaGik

@JonaGik, де не було моєї відповіді? Я думав, що це відповідає цій математичній причині ...

— clabacchio

Чи це правильно? Чи існує думка про те, що подання комплексного числа є скороченим для подання кута (фази) та величини? Отже, коли ми інтерпретуємо складний імпеданс, ми вважаємо, що він просто представляє затримку фази та величину?

— JonaGik

2

Описи нижче SEEK демітологізують, що означає "складні" величини в контексті RCL. Поняття "уявних" компонентів є корисною метафорою, яка схиляє засліплювати людей до простих глибинних реальностей. У тексті, наведеному нижче, в РК терміни "не торкаються" таємниць ЖК, які насправді не є більш загадковими насправді.
Вам було б більше користі, щоб зробити все можливе, щоб вирішити більшість питань, піднятих самостійно, використовуючи або текстову книгу, або Інтернет-пошукову систему, перш ніж шукати пояснення у інших, Оскільки це питання є настільки важливим для основ ланцюгів змінного струму з реактивними компоненти. Розмова зі складними питаннями визначає пріоритет у тому, як ви будете мати справу з подібними речами протягом усієї своєї освіти, а в Інтернеті є, мабуть, мільйони сторінок, які займаються цією темою (Гаргойл каже ~ = 11 мільйонів, але хто може розповісти?). Ступінь деталізації та ґрунтовності, про яку ви запитуєте, нереальна для такого веб-сайту, враховуючи велику кількість справді «деталей». (Якщо власники сайтів не намагаються копіювати підмножину Вікіпедії).

Так - я вважаю, що допомогти вам обвести основи - це гарна ідея, щоб ви могли забрати її та побігти звідти. Тому ...

Якщо підключити вхідний термінал до серійного резистора до конденсатора, а інший конденсатор "заземлений", ви отримаєте послідовну RC ланцюг:
Vin - резистор - конденсатор - земля.

Якщо ви зараз застосуєте ступінчасту напругу до входу, струм конденсатора буде відповідати, але конденсатор почне заряджати, використовуючи цю напругу для отримання струму в резисторі. Підвищення напруги буде експоненціальним, тому що струм, що надходить у конденсатор, спричиняється за рахунок Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries. тобто у міру збільшення Vcap потенціал через резистор падає, а відтак зменшується струм. Теоретично для Вкапа знадобиться нескінченний час, щоб досягти Він, але на практиці він є більш-менш "там приблизно за 3 константи часу, де
t = RC = час, необхідний для Iin, впаде до 1 / е-го його початкового значення. Що і чому з 1 / е терміну ви вже знаєте чи будете робити, прочитавши посилання.

ЗАРАЗ, якщо ми застосуємо сигнал прямокутної хвилі, конденсатор заряджатиметься як вище, коли вхід позитивний, і розряджається аналогічним експоненціальним чином, коли вхід заземлений або негативний. Хоча струм конденсатора буде слідувати за Вином і буде максимальним при переходах Він високий / низький або низький високий, напруга конденсатора з причин, описаних вище, буде відставати від вхідної напруги. Як тільки буде досягнуто стаціонарного стану, якщо ви зможете побудувати Vcap і I cap, ви знайдете дві форми сигналу, зміщені на майже 90 градусів або майже на майже градуси, де один цілий цикл введення = 360 градусів. Наскільки напруга конденсатора відстає від свого струму, залежить від вхідної частоти та постійної часу RC.

Для непосвячених це може виглядати як магія (або використання тиотимоліну *), при цьому струм хвилі виникає до 1/4 циклу до його напруги, АЛЕ це лише тому, що логічна причина цього, як пояснено вище, не є обов'язково інтуїтивно очевидний при огляді.

Якщо ви починаєте комбінувати конденсатори та резистори та індуктори різними способами, вам потрібно мати можливість мати справу з відносними фазами різних форм хвилі. [На першому вступі може здатися, що фасори налаштовані на оглушення].

Деякі грамотні фігури або прокрадання погляду на 10-мільйонних веб-сторінок з цього приводу вкажуть, що там, де у вас є дві форми хвиль, які залежать від фазового відношення один до одного і засновані на взаємній експоненціальній залежності, тоді кожна форма хвилі може бути представлена полярним поданням форми [R, Theta], яка в перспективі може бути представлена у вигляді складного числа, що має X і Y компоненти, що відображають полярну форму.

Полярний "вектор", який представляє співвідношення напруги та струму в даній ситуації, використовує "метафору" обертового вектора, що дає довжину руки та фазовий кут відносно відліку. Ця "метафора" може бути замінена компонентом X і Y, де величина полярної форми задається R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2), а кут тета якого заданий tan ^ -1 (X / Y ). Це можна побачити на схематичній формі нижче.

введіть тут опис зображення

Звідси

ПОПЕРЕДЖЕННЯ - не обманюйте термінологію.

Зауважимо, що термін "складне число" - просто Жаргон. Використання sqrt (-1) є корисною частиною метафори, яка дозволяє арифметиці працювати, АЛЕ фактичні задіяні величини цілком реальні та "звичайні". При використанні реактивних елементів, таких як індуктори та конденсатори, потужність перестане бути просто добутком величин у векторах напруги та струму. тобто потужність від V.sin (fred) x I.sin (Josepine) не (як правило) = VI. Це не означає нічого особливого чи магічного чи складного чи уявного щодо змінних - просто вони є часовим варіантом, і їх пікові величини зазвичай не збігаються.

Додаткове читання - дуже рекомендується:

Електричний опір

RC ланцюг

LC ланцюг

Складний калькулятор опору

Я Асімов.

— Рассел Макмахон
джерело

@Kortuk - Переважна більшість вище було написано до мого початкового письмової відповіді , але я не зробив на цьому етапі пості це, але це , можливо, було додано в свій час , коли краще перевірити. Як ви будете знати, мені досить часто додавати великі транші матеріалів до початкових публікацій. У його випадку ваш підхід з моркви та палички (без моркви) був досить демотиваційним, але, мабуть, соромно дозволяти неправильним мотиваційним стилям досягати своїх найбільш нормальних наслідків. Деякі реагують досить добре на ніжні манжети навколо вуха, але не більшість я знайшла. Деякі тут не згодні :-).

— Рассел Макмахон

1

Виявлення ємності та індуктивності як уявних опорів має ту перевагу, що ви можете використовувати добре відомі методи вирішення лінійних задач з резисторами для вирішення лінійних задач з резисторами, конденсаторами та індукторами.

Наприклад, такі лінійні проблеми та їх добре відомі методи

Проблема: обчислення опору двох резисторів послідовно
Метод: R = R1 + R2
також може бути використаний для обчислення опору резистора / конденсатора / індуктора послідовно з іншим резистором / конденсатором / індуктором
Проблема: підрахунок опору двох резисторів паралельно
Метод: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
також може бути використаний для обчислення опору резистора / конденсатора / індуктора паралельно з іншим резистором / конденсатором / індуктором
Проблема: розв’язання мережі, що містить резистори, джерела постійного струму та джерела струму постійного струму
Спосіб: розв’язання одночасної системи лінійних рівнянь
також може бути використане для розв’язання мережі, що містить резистори, конденсатори, індуктори, змінного струму або напруги постійного струму та джерела струму змінного або постійного струму
тощо.

Усі ті формули / методи, які працюють із реальними значеннями опору (лише резистори) та джерелами постійного струму, так само добре справляються зі складними значеннями (резистори, індуктори, конденсатори) та джерелами змінного струму.

— Сир
джерело

0

Хоча не обов'язково є інтуїтивно зрозуміла причина, чому використання складних чисел для представлення комбінації фазових та позафазових сигналів має бути корисним, виявляється, що арифметичні правила для складних чисел дуже добре співпадають із фактичною поведінкою та взаємодія резисторів, конденсаторів та індукторів.

Складне число - це сума двох частин: реальної частини та "уявної" частини, яку можна представити реальним числом, помноженим на i , яке визначається квадратним коренем на -1. Складне число може бути записане у формі A + Bi з обома A і B є дійсними числами. Потім можна використовувати правила поліномальної арифметики для дії на складні числа, трактуючи i як змінну, але можна також замінити i² на -1 (так, наприклад, добуток Pi × Qi дорівнює -P × Q).

На будь-якій конкретній частоті можна визначити, як буде вести себе мережа резисторів, індукторів та конденсаторів, обчислюючи ефективний опір кожного елемента, а потім використовуючи закон Ома для обчислення ефективного опору послідовних та паралельних комбінацій, напруг та струмів через їх. Крім того, оскільки резистори, конденсатори та індуктори - це всі лінійні пристрої, можна обчислити, як буде поводитися мережа, коли вводяться комбінації частот, обчислюючи, що вони робитимуть із кожною конкретною частотою, а потім додаючи результати. Складна арифметика може бути дуже корисною при спробі аналізу поведінки таких речей, як фільтри, оскільки вона дозволяє обчислити вихід фільтра як функцію вводу. Подано вхідний сигнал деякого реального числа vвольт на деякій частоті f , можна обчислити напругу або струм у будь-якому конкретному вузлі; реальна частина буде у фазі з введеною формою хвилі, а уявна частина буде на 90 градусів поза фазою. Замість того, щоб використовувати модні диференціальні рівняння для вирішення поведінки ланцюга, можна відносно базову арифметику зі складними числами.

— суперкат
джерело

-2

Складні числа використовуються в електротехніці для величин, які мають величину і фазу. Електричний опір - це відношення струму до напруги. Для струмів та напруг змінного струму форми струму та напруги можуть не знаходитись у фазі; фаза опору говорить вам про цю різницю фаз.

— nibot
джерело

Чому голосування вниз?

— nibot