Виведення S = VI * / 2

Мені було цікаво, де я можу знайти виведення для складної формули потужності, S = VI * / 2, де S, V і I - складні фазори.

Я бачив цілу купу перевірок, де люди вкладають у рівняння, щоб показати, що це працює.

Ось що я знаю поки що, якщо $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ і і , то і і S = Vm∠ø_v * Im∠ø_i / 2 $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $S = V_{RMS} \cdot I_{RMS}$
$V_{RMS}= \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V}}{\sqrt{2}}$ $I_{RMS}= \dfrac{I_{M} ∠ \phi _{I}}{\sqrt{2}}$ $S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ \phi _{I}}{2}$

power

— user968243
джерело

Вам доведеться визначити S, V, I і все, що має означати "* /".

— Олін Латроп

@OlinLathrop, це I * для складного кон'югату I (струму) і розділене на два, оскільки вони обидві хвилі гріха (V і I *), тому вони обоє мають перетворення RMS.

— Кортук

Нехай V і I - миттєва напруга і струм на навантаженні. З визначення потужності, напруги та струму ми маємо відношення до миттєвої потужності:

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

Що означає, що потужність на заданий момент $t$ дорівнює добутку напруги і струму саме на цей момент.

Я припускаю, що ви знайомі з тим, що насправді означає представлення фазора. Просто констатую, що незабаром: фазор - це математична стенограма для представлення синусоїди на заданій невідомій частоті.

Отже, $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ - це скорочення для $v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$ . Аналогічно: $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ означає $i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$ .

Помноживши $v(t) \cdot i(t)$ на всі $t$ , ми отримуємо форму хвилі миттєвої сили для кожного $t$ . Працюючи над цим множенням:

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

Як , приі, ми можемо спростити рівняння вище до: $cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$ $u = \omega t+ \phi _{V}$ $v = \omega t+ \phi _{I}$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Ця форма хвилі сама по собі цікава: вона є постійною величиною підсумований синусоїдою $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$ . $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Це наочно показує, що миттєва сила не є постійною з часом.

Виходячи з цього результату, ми можемо побачити, що середня потужність дорівнює не змінній складовій (доволі просто довести, що математично потрібно просто вирішити інтеграл $s(t)$ ) $\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$

Мотивована цим результатом і досить солодкою геометричною інтерпретацією , це значення було визначене як реальна потужність , тобто потужність, яка фактично подається до навантаження. Тепер ви знаєте, що ця так звана реальна потужність - це не що інше, як середня потужність при навантаженні. $VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$

Трохи зануримось у цю концепцію (я тут не можу малювати, але спробую):

Нехай v - вектор з величиною || v || і фаза , і я - вектор з величиною || i || і фаза Якщо помножити || i || через вас є проекція i над v . З іншого боку, є складовою частиною i в квадратурі з v $\phi_v$ $\phi_i$ $cos(\phi_v-\phi_i)$ $||i||sin(\phi_v-\phi_i)$ .

Тепер ви можете зрозуміти, чому середня потужність має класну геометричну інтерпретацію: середня потужність - це напруга, помножена на проекцію струму на напругу, на фазовий простір.

Це мотивувало створення комплексної потужності S як:

S = P + jQ

З цим визначенням реальна частина вектора - це саме середня потужність, що подається на навантаження, а складна частина - потужність , яку називають квадратурою , називається реактивною потужністю (google для Power Triangle, щоб побачити геометричну інтерпретацію цього результату) .

Гаразд, повертаючись до визначення , ми бачимо, що $s(t)$ і, за визначенням, і, щоб відповідати визначенню S, дорівнює $P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$ $Q$ $\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

Отже, як ми хотіли довести на початку:

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

So, there you go, what you wanted to see ;)

edit: What's the physical interpretation of Q?

I've shown above what's the physical interpretation of the real part of the complex power, P, that is, the mean power delivered to the load. But what's exactly Q, how can one visualize it? It's based on the fact that cos and sin are orthogonal, and the principle of superposition can be applied to power if the two waveforms involved in the calculation are orthogonal. Let's go into the math, because that's really what matters.

Using the result obtained above: $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

First case: purely resistive load, so that

ϕ_{V} - ϕ_{I} = 0

$\phi _{V} - \phi _{I} = 0$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

That is a sinusoid centered on $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2}$ with that same amplitude (its minimum value is 0 and its maximum value is $V_{M}I_{M}$ ). Let's call it P

Second case: purely inductive load, so that

ϕ_{V} - ϕ_{I} = \frac{π}{2}

$\phi _{V} - \phi _{I} = \cfrac{\pi}{2}$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2} )]$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [sin(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

That is a purely oscillatory waveform with mean value equal to 0. Let's call this result Q.

Third case: the generic case

ϕ_{V} - ϕ_{I} = θ

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

In this case, s(t) is exactly the general equation we found on the discussion above. But we can rewrite that to make use of the result of the two previous cases, like this:

First, we rewrite the equation in terms of $\theta$ (notice that $\phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta$ ): $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)]$ Knowing that: $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$ , letting $x = 2(\omega t+ \phi _{V})$ and $y = \theta$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin(\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]$

Rearranging the terms:

$s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))$

Using the result of the two first cases above:

$s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q$

An amazing result, right? What does that mean?

Let's go back to what we are doing: calculating the power for the generic case where $\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$ , that is, solvig the equation:

$s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$

Can we rewrite $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$ in the form of $i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin(\omega t + \phi_V)$ ?

Let's try:

$\phi_I = \phi_V - \theta$ $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta$ ) \$

Letting $\omega t + \phi_V = u$ and $\theta = v$

With the relation:

$cos(u-v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)$

We have:

$i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V)$

Just what we wanted, to rewrite i(t) as a sum of two components: one in phase with v(t), and one in quadrature with v(t)!

Now the result of the case 3 can be explained: i(t) can be decomposed in two components, as shown above, and the power generated by i(t) is equal to the power generated by each one of these components individually. Whoa, just like superposition but for power! (Remember that this is only true, and it was proven above, because cos and sin are orthogonal)

So Q is the amount of power generated by the component of i(t) that's in quadrature with v(t). It is purely oscillatory and has no mean value.

P is the amount of power generated by the component of i(t) that's in phase with v(t). It is oscillatory but has a mean value that's equal the mean power delivered to the load.

And the complex power S, the total power, is exactly the sum of these two components

— Castilho
джерело

Thank you for your good explantation! I have a few questions though: 1. I don't follow what happened to

- \frac{V_{M} I_{M}}{2} c o s (2 ω t + ϕ_{V} + ϕ_{I})

$-\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})$ . I thought this term would be the reactive power, Q; however,

Q = | | i | | s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$Q = ||i||sin(\phi_v-\phi_i)$ . 2. I don't understand how you went from

S = \frac{V_{M} I_{M}}{2} \cdot [c o s (ϕ_{v} - ϕ_{i}) + j s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})]

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$ tp

S = \frac{V_{M} ∠ ϕ_{V} \cdot I_{M} ∠ - ϕ_{I}}{2}

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$ . It's as though

\cos (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$\cos(\phi_v - \phi_i)$ is a phasor, but it's just a constant. Thanks again for your answer!

— user968243

Так. Ви маєте рацію, це НЕ Q. Реактивна потужність визначається лише через різницю фаз між напругою та напругою, і це значення, яке безпосередньо пов'язане з визначенням S як фазора. Це потужність, яка подається струмом у квадратурі з напругою. Компонент, що змінюється за часом, не враховується, оскільки в цьому сенсі важливою є середня потужність при навантаженні. Змінна частина ВИСТАВКА дійсно є (наприклад, дивіться лампочку розжарювання), але з часом потужність пов'язана лише зі статичною частиною s (t). ;)

— Кастільйо

Добре, тож ця змінна частина має спеціальну назву? У будь-якому випадку, тому, якщо я правильно це зрозумів, величина I в напрямку V - це реальна потужність, а величина I, перпендикулярна до V, - комплексна потужність.

— user968243

майже те, що величина I у напрямку V помножена на V - реальна потужність P, величина I, перпендикулярна V, помножена на V - РЕАКТИВНА потужність Q, P + jQ - комплексна потужність, або видима потужність;)

— Кастільйо

Гаразд, це має сенс! Насправді в своєму попередньому коментарі я запитував, як називається це: −VMIM2cos (2ωt + ϕV + ϕI) Я дійсно подумав, що це реактивна сила ... Дякую за ваші репліку, до речі, я вдячний!

— user968243