Паралельні клітинки суфіксів з префіксами в Negabinary

Я намагаюся створити доповнювач паралельних префіксів для доповнювача на основі негабірину. Негабінарний - це основа замість звичної бінарної бази . Кожен 1-бітний суматор генерує суму, а два (замість одного у двійковій) несуть, що переходять до наступного суматора. $-2$ $2$

Щоб зробити суматор швидшим, я хочу використовувати паралельну структуру префікса, як структура Ladner-Fischer, наведена нижче. Я знайомий з функціональністю фіолетової комірки у двійковій системі, але я не впевнений, як я міг отримати такий же функціонал у негабінарній системі.

Причиною, що я роблю це, є просто заради забави, я ще не знайшов жодного використання для негабінарних.

Формули для обчислення суми і несе:

$s_i = a_i \oplus b_i \oplus (c_i^+ + c_i^-)$

$c_{i+1}^+ = \overline{a_i}\overline{b_i}\overline{c_i^+}c_i^-$

$c_{i+1}^- = a_ib_i\overline{c_i^-}+a_i c_i^+ \overline{c_i^-}+b_i c_i^+ \overline{c_i^-}$

Структура дерева Ладнер-Фішер несе:

Якщо щось незрозуміле, запитайте, будь ласка, не соромтеся.

digital-logic adder

— gilianzz
джерело

Хоча це може бути цікавим питанням, це, здається, не є електричним питанням, і, можливо, вам пощастить взяти його до математики SE.

— Редя

Я ставлю це сюди, тому що я думаю, що у EE люди мають більше досвіду роботи з логікою переносу, розробкою

— добавок

Це абсолютно питання ЕЕ

— напруга Спайк

Здається, вам потрібно більше двох виходів на перенос. Вам не потрібно генерувати та розповсюджувати як носіння, так і позику?

— старт

Я припускаю, що ви говорите про структуру Ладнера-Фішера. Це був лише приклад демонструвати паралельне дерево префіксів. Кожен 1-бітний негабінарний суматор видає суму, позитивну та негативну оцінку. Я не впевнений, чи зможемо ми використовувати поняття генерування та поширення з негабінарними.

— gilianzz

Напевно, я витратив більше часу на це питання, ніж повинен був, але ось мої висновки.

Я не можу знайти жодного прикладу "чистого" паралельного додавача префіксів для негабінарних чисел. Я також вважаю , що це відкрита проблема, так як я не бачив ніяких доказів того, що це не можливо.

Найближче, що я можу отримати вас, - це використання двоступеневого негативного додавання негативу (в літературі зазвичай скорочено nnba). Він заснований на такому властивості:

Нехай і . Це в основному виключає операція з і відповідно. Потім ви можете це довести $f(x) = \overline{x_{n-1}}x_{n-2}...\overline{x_1}x_0$ $g(x) = x_{n-1}\overline{x_{n-2}}...x_1\overline{x_0}$ 0xAA...AA0x55...55

- (а +_{н б} б) = г (f (а) + f (б) + 1)

$-(a +_{nb} b) = g\left(f(a) + f(b) + 1\right)$

Там, де ліва сторона є негабінарною сумою , тоді як на правій стороні - нормальна двійкова сума. $+_{nb}$ $+$

Від'ємну суму потім можна просто перевернути, використовуючи ту саму властивість, але з нульовим операндом:

- х = г (f (х) + f (0) + 1)

$-x = g\left(f(x) + f(0) + 1\right)$

Отже, щоб знайти суму за допомогою паралельних додавачів префікса, ви можете:

Обчислити і , тобто. шляхом перетворення кожного непарного біта негабінарних чисел $f(a)$ $f(b)$
Обчисліть звичайну двійкову суму, встановивши біт перенесення для LSB ( ), що веде до першої посередницької суми . $+1$ $s_1$
Інвертувати всі біти (це ). Це закінчення першої суми, при цьому також починається інверсія. $s_1$ $f(g(s_1))$
Збільшити результат на 0xAA...AB( ), використовуючи паралельний суфікс префікса, даючи другу суму посередника $=f(0)+1$ $s_2$
Обчисліть (перевернувши кожен парний біт), щоб знайти остаточну мінубінарну суму. $g(s_2)$

Насправді я намагався знайти "чисту" паралельну приставку префікса, але вважав це занадто складним для того часу, який я був готовий витратити на це. Ось чому:

Вся суть паралельних суфіксів префікса полягає у пошуку деякої операції що дозволяє легко обчислити (у цьому випадку 2) несе з цих бітів. Як додаткове обмеження, операція повинна бути асоціативною для обчислення паралельно. Наприклад, це в основному виключає жодного оператора NOT (що не є частиною подвійного заперечення). Наприклад: - не асоціативний оператор, оскільки $\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^n$ $a \circ b=a\cdot \bar b$

\begin{aligned} (а \circ б) \circ c & = а \cdot \bar{б} \cdot \bar{c} \\ а \circ (б \circ c) & = а \cdot \bar{б \cdot \bar{c}} \end{aligned}

$\begin{align} (a\circ b)\circ c &= a\cdot \bar b \cdot \bar c\\ a\circ (b \circ c) &= a\cdot \overline{b \cdot \bar c} \end{align}$

Зауважте, що булевий оператор для ваших запитань включає змішані терміни і , що робить неможливим його використання як є. Для одиночного перенесення в звичайному бінарному додаванні стало цілком очевидно, як побудувати цього оператора, думаючи про нього з точки зору генерації та розповсюдження , але це здається не таким очевидним для негабінарних переносів. $c_i^+\overline{c_i^-}$ $c_i^-\overline{c_i^+}$

— Свен Б
джерело

Моє теперішнє розуміння полягає в тому, що побудувати цю «чисту» паралельну додаток префікса фактично неможливо. Здавалося б, паралельний суфікс префікса може отримати ефективність O (log (N)), тоді як негабінарний еквівалент завжди має складність O (2 * log (N)) (2x nnba).

— gilianzz

Я не знайшов жодної літератури, яка підтверджувала б або стверджувала, що це неможливо . Я був би радий, що в будь-якому випадку виявився невірним. Але наскільки я можу сказати, 2-ступінчаста nnba є стандартом для негабінарного додавання.

— Свен Б