Чому ланцюг RC не змінює форму вхідного синуса?

9

На малюнку вище червона квадратна хвиля є входом, а синя хвиля - виходом ланцюга RC. Я не в змозі зрозуміти, чому я отримую ідеальну синусоїду, коли подаю синусоїду як вхідну. Конденсатор повинен зайняти деякий час для зарядки та розряду. Тож моя інтуїція кричить, що вихід є певною періодичною хвилею, період якої - це половина входу. Невже хтось міг би це зрозуміти для мене? Дякую!

У часовій області це не повинно робити щось подібне?
При t = 0 конденсатор має напругу 0. Оскільки вхідна напруга велика, конденсатор продовжує заряджатися і відповідає падінню синусоїди при її падінні.

Тоді вхідна напруга опускається нижче напруги конденсатора, тому конденсатор починає розряджатися і знову зустрічається з вхідною синусоїдою, коли вона піднімається.

capacitor

— Hiiii
джерело

8

Син хвиля - це дуже особлива форма хвилі. Струм конденсатора пропорційний швидкості зміни вхідної напруги. У математичній лізі можна сказати, що струм конденсатора є похідною напруги на конденсаторі відносно часу . І випадково похідною синусоїди є функція косинуса (синусова хвиля зсуву фази).

I = C * \frac{d V}{d t}

$I = C*\frac{dV}{dt}$

— G36

1

Я б сказав, @ G36 прибив це. Вихід буде спотворений. Але спотворена форма хвилі має таку ж форму входу, лише меншу і з фазовим зсувом. Більше того, ви можете бачити, як накопичується "спотворення", якщо ви живите "синус", починаючи з t = 0 (насправді, синус є синусом, лише якщо він почав бути синусом нескінченний час тому). Ви побачите, що вихід сильно спотворений (має іншу форму), поки, коли досягнуто стійкого стану, він не перетвориться на зміщену синус.

— Середній Ваштар

1

... і, до речі, все це "схоже" зводиться до того, що експоненціальна функція є самоподібною (вона виглядає як сама, незалежно від того, як ви перекладете її в часі). Він також має похідну, яка виглядає саме як сама, тому, додаючи особу Ейлера, ви бачите, чому синуси та косинуси такі особливі.

— Середній Ваштар

1

Схема є лінійною системою, і стаціонарна відповідь на вхідну синусоїду буде іншою синусоїдою з тією ж частотою, що і вхід. Зауважте, стаціонарний стан означає область часової осі, де реальна експоненціальна частина повної відповіді спала до нуля.

— Чу

1

Якщо у вас є правильні інструменти у часовій області, це ще простіше. Синус або, загалом, будь-яка цизоїдальна функція (тобто ) є власними векторами будь-якої системи LTI. Це все.

y = e^{(σ + j ω) t}

$y=\text{e}^{(\sigma+\text{j}\omega)t}$

— carloc

13

Навчіться мислити в частотному просторі. Це одне з тих речей, які важко помітити у часовій області, але добре випадає у частотній області.

Синусоїда - це єдина "чиста" частота. RC-фільтр - це лінійна система, яка не може спотворити, тобто не може створювати частоти на виході, які не знаходяться на вході. Коли ви ставите лише одну частоту, вихід може містити лише одну частоту. Питання лише в тому, якою буде відносна амплітуда і зсув фази від введення до виходу.

Причиною того, що квадратна хвиля не призводить до виходу квадратної хвилі, полягає в тому, що квадратна хвиля містить багато частот. Кожен з них може бути ослаблений і зміщений фазою незалежно. Змінюючи відносну силу і фази гармонік, ви отримуєте інший вигляд сигналу в часовій області.

Квадратну хвилю можна розглядати як суперпозицію нескінченного ряду синусів. Це взагалі непарні гармоніки (непарні цілі кратні основні частоти). Амплітуда цих гармонік випадає на більш високих частотах.

Ви можете передавати квадратну хвилю через декілька RC низькочастотних фільтрів послідовно, кожен з частотою відкидання набагато нижче частоти квадратної хвилі. Після кожного фільтра результат все більше нагадує синус. Це тому, що такі фільтри послаблюють високі частоти більше, ніж низькі. Це означає, що гармоніки квадратної хвилі ослаблені більше, ніж фундаментальні. Якщо ви цього зробите достатньо, гармоніки мають настільки мало амплітуди щодо фундаментальних, що все, що ви бачите, є основним. Це одна частота, тому синус.

Додано

На це не реагує жоден RC-фільтр:

Для RC фільтрів низьких частот, коли вхідна частота знаходиться значно нижче відкоту, висновок здебільшого просто слід за входом. Значно вище частоти відкату вихід є інтегралом вводу.

У будь-якому випадку, у нахилі вихідного сигналу не буде різких змін, як ви показуєте. Немає нічого особливого у вхідному перехресті над або під виходом, оскільки це відбувається безперебійно. Ви отримуєте точку перегину у виході, але її гладка горбка, оскільки вхід плавно наближається до, а плавно йде після.

Це може бути повчально написати цикл, щоб імітувати це самостійно. Все, що вам потрібно зробити, - це змінити вихід на невелику частку миттєвої різниці вхідних даних, мінус вихід. Це воно. Потім киньте на нього синусоїду і подивіться, як вихід плавно слідує, щоб зробити ще один синус, хоча відстаючи у фазі і нижчий за амплітудою.

— Олін Латроп
джерело

Дякую за чітке пояснення (: частотна область полегшує розуміння того, чому синусоїди вводять синусоїдальні виходи! Але все одно своєрідна магія для мене, як усі ці схеми знають серії фур'є і реагують на кожну з гармонік на вході окремо!

— Hiiii

Привіт, вибачте, що я розумію в частотній області, але я ще не зміг переконати свої міркування у часовій області. Я опублікував новий малюнок. Ще раз дякую :)

— Hiiii

@Hiiii, не бачиш, що форма хвилі "розбита" на синусоїдальну форму хвилі. Зрозумійте, що всі ці окремі синусоїдальні форми хвиль існують і що ми сприймаємо «підроблений» погляд на них як на єдину складну форму хвилі. Одинарна складна форма хвилі - це вигляд вищого рівня, а не норма.

— TonyM

@TonyM Дякую, я думаю, я починаю розуміти частотну область. Але я заплутався в той момент, коли я починаю думати, що відбувається в часовій області. Чи можете ви подивіться оновлене запитання. Я додав трохи пояснень до картини ...

— Hiiii

3

@Hiii У часовій області, якщо вхід дорівнює нулю для t <= 0, а синусоїда для t> = 0, вихід не буде синусоїдою відразу після часу t = 0. Буде перехідна реакція, яка відмирає з постійною часом 1 / RC, накладеною на синусоїду. У частотній області ви «ігноруєте» цей перехідний час, оскільки ви розглядаєте ситуацію, коли вхід є синусоїдою для всіх часів, як в минулому, так і в майбутньому.

— alephzero

5

Пам'ятайте, що швидкість зміни напруги конденсатора залежить від різниці напруги між вхідною напругою та напругою конденсатора. Ваш графік не представляє цього.

Коли вхід і конденсатор знаходяться на рівні 0 В, а вхід починає зростати, напруга конденсатора має починати повільно зростати, оскільки вхідна напруга (а отже, і різниця напруги) також мала.

Коли вхідний пік, різниця напруги становить максимум, і тут напруга конденсатора піднімається найшвидше. Коли вхідна напруга починає знижуватися, швидкість зарядки конденсатора також знижується. Після задоволення двох напруг різниця знову мала, тому швидкість розряду також мала. Як виявляється, це трапляється в результаті чергової синусоїди.

Наведений нижче графік був змодельований (з електронною таблицею) за допомогою зазначеного вище правила. Різниця напруги між вхідною та конденсаторною напругою найбільша до піку вхідної напруги.

Зауважте, що на графіку також видно, що напруга конденсатора не повертається до нуля при , а залишається нижче нього. Це узгоджується з тим, що напруга конденсатора зміщено фазово відносно входу, просто потрібно певний час, щоб досягти сталого стану після того, як обидві напруги почалися з нуля. $2\pi$

На вашому графіку конденсатор розряджається найшвидше відразу після зустрічі двох напруг, але саме там різниця напруги не найбільша. При введенні квадратної хвилі це було б так, оскільки вхідна напруга не змінилася б знову, поки не з'явиться ще один "крок" у квадратній хвилі. Синусоїдальний вхід, проте, постійно змінюється.

— ілкака
джерело

Тут щось не так. Я отримую різні якісні результати, коли я вибираю RC фільтр низької частоти (кришка в серії з опором, vin по всій серії, vout через опір). Я отримую квадратуру між Vcap і Icap (і, таким чином, Vout), але нічого подібного до зеленої лінії розташування між Vin і Vcap (затримка пов'язана з RC). Ми використовуємо ту саму схему?

— Середній Ваштар

Якщо де перетинаються червоні і блакитні лінії (тобто там , де вхід і напруга конденсатора є однаковими) бути в локальних максимумів / мінімумів виходу, або - як видається, у випадку з ділянок - дрібно попереду хв / макс. балів?

— TripeHound

Моделювання в Spice показує, що Vcap і Icap виходять з фази постійними 90 градусами, тоді як Vcap відстає від Vin на деякий час, що відповідає RC. Зелені лінії не мали особливого значення на цьому графіку (натомість він повинен був бути на графіку Vcap, Icap), тому добре, що їх немає. Він і Vout поза фазою 90 градусів плюс зазначений відставання.

— Середній Ваштар

3

Ви отримаєте синусоїду з синусоїди, якщо константа часу RC дозволяє конденсатору заряджатися / розряджатися з тією ж швидкістю або швидше, як змінюється форма вхідної хвилі.

Ваш вихідний сигнал хвилі буде затриманий конденсатором, який заряджається і розряджається трохи за змінами форми вхідної хвилі, що називається затримкою фази.

Ви знайдете багато теорії та математики за нею в Інтернеті, якщо у вас її ще немає.

— TonyM
джерело

4

Ваше перше речення є технічно правильним, але залишає помилкове враження, що ви не отримали б синус у відповідь на синус у певні постійні постійні часу. Синус RC низькочастотного фільтра завжди виводить синус. Єдине питання - кількість ослаблення та зсув фази, але функція завжди буде синусом.

— Олін Летроп

1

@OlinLathrop, я бачу. Я намагався дотримуватися його «перегляду постійного струму», якщо вам це подобається, залишаючись на поведінці зарядки RC-ланцюга. Таким чином, синусоїда високої частоти у фільтрі низьких частот (наприклад, 1 МГц у низькопрохідному РК fc = 1 кГц) не призведе до нічого. Математично неправда, але це те, що трапиться, якщо дотримуватися рамки на одному. Я ледь не написав "Це нематематичне уявлення про це" в пара3, щоб показати, що я намагаюся зрозуміти уявлення. Більше сенсу, хорошого, поганого чи потрібне редагування?

— TonyM

Я думаю, вам слід додати в загасанні. Фільтр «уповільнює» синусоїду більше, оскільки збільшується частота вхідної синусоїди, що не змінює форму, але змінює відносну фазу та амплітуду. Прийнята відповідь також мені здається неповною у цьому плані.

— Тодд Вілкокс

1

Для мене часова область тут більш пояснювальна. Якщо ви подивитеся на свій перший графік, ви побачите, що відображається у вигляді крокової функції (за перший півріччя). Тобто ви раптом подаєте напругу, а потім тримаєте її постійною. Це означає, що конденсатор спробує досягти прикладеної напруги відповідно до власних законів, тут виду 1-exp(-x).

Якщо, з іншого боку, ви застосуєте синусоїду, за той же півперіод у вас більше немає різкого підйому напруги, і він не залишатиметься постійним: він буде рости повільніше і повільніше, до досягнення піку, тоді вона зменшуватиметься все швидше і швидше, суметрично навколо свого піку. Це означає, що конденсатор спочатку заряджається, повільніше і повільніше, потім розряджається, швидше і швидше. Те, що ви намалювали, є результатом (принаймні) безперервного заряду; синус також розрядиться.

Якщо це допомагає, подумайте про функцію кроків як на суму всіх (непарних) синусів , а синус - ну, лише один синус. Оскільки ваш RCфільтр низьких частот, він дозволить пропускати тільки низькочастотні синуси, відхиляючи більш високі. Якщо ви також думаєте з точки зору , воно починає ставати більш зрозумілим. $\sin(x)=i\frac{exp(-ix)-exp(ix)}{2}$

— зацікавлений громадянин
джерело