Чи матиме трикутна хвиля кінцеві чи нескінченні синусоїдальні компоненти?

22

Перерва викликає у сигналу нескінченні синусоїдальні компоненти, але трикутна хвиля безперервна, я брав клас, в якому інструктор сказав, що оскільки трикутна хвиля є безперервною, вона може бути представлена кінцевою кількістю синусоїдальних компонентів, а також показала скінченне додавання декількох частот синусоїд, що надало форму чистої трикутної хвилі.

Єдина проблема, про яку я маю на увазі, полягає в тому, що похідна трикутної хвилі не є безперервною, оскільки це квадратна хвиля, а значить, знадобиться нескінченна сума синусоїд, тому якщо вивести обидві сторони формули ряду Фур'є трикутної хвилі , ми отримали б квадратну хвилю, яка відображається як сума кінцевої кількості синусоїд. Це не було б неправильно?

fourier

— Сид Мохаммад Асджад
джерело

10

Трикутна хвиля має нескінченний ряд фур'є. Пам’ятайте, що репетитори помиляються.

— Аутист

Що сказав ваш інструктор, коли ви запитували його?

— Сонячний Майк

5

@Syed Mohammad Asjad: ваші міркування з похідною є правильними. Можливо, ви краще розумієте справу, ніж ваш інструктор.

— Сир

6

Насправді, щоб мати кінцевий ряд Фур'є, функція та ВСІ її похідні повинні бути безперервними. Усі похідні синусоїди є безперервними, і це також стосується будь-якої кінцевої суми синусоїд.

— Трейд Дейв

1

Не відповідь, але: ряд Фур'є з кінцевими коефіцієнтами є дуже обмежуючим. Більшість періодичних функцій мають нескінченний ряд Фур'є. Однак чим плавніша функція, тим швидше розпад коефіцієнтів у нескінченності. Якщо функція k разів диференціюється з обмеженою похідною, то її коефіцієнти Фур'є (c_n) розпадаються так само швидко, як 1 / n ^ (k + 1), як це видно індукцією. Для аналітичних функцій (функції з конвергентними рядами Тейлора, тобто навіть плавніші, ніж нескінченно диференційовані), розпад є експоненціальним. Трикутник має ряд Фур'є, що рівно 1 / n ^ 2.

— Олександр C.

21

трикутна хвиля безперервна

Цитата від звідси : -

Трикутна хвиля не має переривчастих стрибків, але нахил змінюється безперервно двічі за цикл

Переривчастий зміна схилу також означає нескінченний спектр синусоїдальних компонентів.

Наприклад, якщо ви інтегрували в квадратну хвилю час, ви виробляєте трикутну хвилю, але всі гамоніки вихідної квадратної хвилі залишаються після інтеграції часу: -

— Енді ака
джерело

Думав так само, граогічне представлення допомогло багато, дякую :)

— Syed Mohammad Asjad

21

інструктор сказав, що оскільки трикутна хвиля є безперервною, її можна представити кінцевою кількістю синусів

Ви або не зрозуміли цього права, або інструктор помилявся. Недостатньо, щоб сам сигнал був безперервним, але всі похідні теж повинні бути безперервними. Якщо в будь-якій похідній є розрив, то повторюваний сигнал матиме нескінченний ряд гармонік.

Трикутник є неперервним, але його першою похідною є квадратна хвиля, яка не є суцільною. Тому трикутна хвиля має нескінченний ряд гармонік.

— Олін Латроп
джерело

1

Ніп не помилився і не промовив, тому що сказав це двічі, а також запитав у класі, що він сказав, і що саме я подумав :)

— Сид Мохаммад Асджад

@SyedMohammadAsjad ви обоє праві. Від google; неправильно сказати: "виразити себе недостатньо чітко або точно." Я думаю, що один з вас використовує "недостатньо чітко", а інший використовує "недостатньо точно".

— ух

Хоча формулювання цього відповіді дещо підказує, той факт, що всі похідні існують (а отже, є безперервними, існуванням наступної похідної), все ще далеко не достатній для наявності кінцевого ряду Фур'є. Більшість рядів Фур'є для періодичних сигналів, хоч і плавні (клас $ \ mathcal C ^ \ infty $, або навіть аналітичні), мають нескінченно багато ненульових компонентів; важко придумати опис тих, що не відрізняються від "кінцевих сум синусів і косинусів". Все, що передбачає гладкість, - це коефіцієнти, що мають значення 0.

— Марк ван Левен

цегляний фільтр може зробити кількість гармонік кінцевим, і він все ще виглядає / \ / \ / \ / \ / \ / трикутний з принаймні 20, далеко не інфінтом

— Tony Stewart Sunnyskyguy EE75

11

Математичний доказ:

Візьміть функцію, що складається із зваженої суми кінцевого ряду компонентів синуса / косинуса.

Його похідна також є зваженою сумою кінцевої серії компонентів синус / косинус. Те саме, якщо ви отримуєте будь-яку кількість разів.

Оскільки синус і косинус є безперервними, функція і всі її похідні є безперервними.

Таким чином, функція, що має розрив у будь-якій із її похідних, не може бути побудована з кінцевим рядом компонентів синус / косинус.

— peufeu
джерело

Саме те, що я думав, дякую :)

— Syed Mohammad Asjad

Повинно бути "синус і косинус гладкими" не просто безперервно - але суть правильна, кінцева сума синусів і косинусів є гладкою, тому не може бути

— перерв

1

@nimish Він доводить, що всі похідні є кінцевими сумами (со) синусів, тому йому потрібна лише наступність (со) синусів, а не гладкість :-)

— рік

Так, пропустив це. Хоча з аналітичності $ \ exp (z) $ для $ z \ in \ mathbb {C} $, це все одно тривіально випливає.

— nimish

Кудо для математичної відповіді, яка пояснює математику, а не просто вставляти її!

— uhoh

7

Хороших відповідей тут багато, але це дійсно залежить від вашого тлумачення "може бути представлений" .

Треба розуміти, що хвиля трикутника - це теоретичний математичний конструкт, який насправді не може існувати в реальності.

Математично кажучи, для отримання чистої хвилі трикутника вам знадобиться нескінченна кількість гармонічних синусоїд, але щоб представити хвилю трикутника, більшість із цих компонентів є занадто маленькими, щоб мати значення, загубившись у фоновому шумі системи, або такі високої частоти, що більше не підлягають передачі.

Таким чином, на практиці вам потрібно лише кінцеве число, щоб отримати представлення, яке можна використовувати. Наскільки добре ви хочете, щоб представлення диктувало, скільки гармонік вам потрібно використовувати.

— Trevor_G
джерело

1

Це дійсно одна з речей, на яку слід звернути увагу, я обов'язково запитаю свого вчителя, чи мав він це на увазі, оскільки ти маєш рацію, насправді ми взагалі не йдемо до нескінченних частот, навіть не в квадратній хвилі (що ні ' t чистий квадрат) :)

— Syed Mohammad Asjad

Хоча ви маєте рацію, що трикутна хвиля - це математична конструкція, ваші міркування неправильні. Той факт, що ви не можете скласти це з безлічі гармонік, не підтверджує, що ви взагалі не можете це зробити.

— йо

@yo 'дійсно, це одна з тих речей, які я думаю, що багатьом із нас важко. Якщо трикутна хвиля = нескінченна кількість синусоїд в якийсь момент, ви не можете додати або передати гармоніки. Якщо це просто хвиля трикутника .... породжена якимось іншим способом ... то що ... як ви її передаєте .. і як річ, що передає це, знає різницю ... Дає мені головний біль на думку Про це .. В основному, навіть якщо це лише короткий шматок дроту або слід на друкованій платі ... він не може не спотворити його.

— Trevor_G

1

Різниця між математичним ідеалом і реальним світом, у двох словах.

— peterG

3

Ще один підхід.

Назвемо x (t) трикутну хвилю, а y (t) - похідну, яка є квадратною хвилею, отже, розривною.

Якби x (t) була кінцевою сумою синусоїдальних сигналів, її похідна за лінійністю цієї операції була б кінцевою сумою похідних синусоїдальних сигналів, тобто знову ж таки кінцевою сумою синусоїдальних сигналів.

Але останній сигнал не може бути квадратною хвилею y (t), оскільки кінцева сума синусоїдальних сигналів є безперервною. Отже, ми маємо протиріччя.

Тому x (t) повинен мати нескінченні компоненти Фур'є.

— Лоренцо Донаті підтримує Моніку
джерело

2

Я пропоную набагато простіший тест, який буде використаний на практиці. Якщо хвиля має якісь гострі кути, для її створення потрібні нескінченні синусіодальні компоненти.

Чому? Оскільки кінцевий ряд синусіод не може зробити гострий кут. Це доводиться з індукції за правилом декомпозиції сум (тобто Σ (a + b) = Σ a + Σ b для всіх кінцевих підсумків і всіх безумовно збіжних нескінченних підсумків).

— Джошуа
джерело

1

Набір функцій, які можна виразити за допомогою скінченного ряду Фур'є,:

Ж : = {f (х) = а_{0} + \sum_{н}^{н \in N} (а_{н} \cos н х + б_{н} гріх н х)}

$F:=\{f(x)=a_0+\sum_{n}^{n \in N}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})\}$

Для всіх кінцевих множин індексів N . Термін-по-перспективі диференціації показує , що похідна (1) неперервна і (2) і в F . Так як похідна трикутної хвилі не є безперервною, функція трикутної хвилі не в F .

Це доказ базується розрив, але більшість безперервних функцій також не належать F . Оскільки жодна поліноміальна або експоненціальна функція не може бути виражена як кінцева сума синусів і косинусів, єдиними членами F є ті, які явно виписані у формі вище.

— Джаред Гогуен
джерело