Чому в пасивному ланцюзі з синусоїдальним входом всі напруги та струми мають таку саму синусоїдальну поведінку, як і вхідні?

Мені відомо, що в будь-якій схемі, що складається з лінійних пасивних елементів і синусоїдального входу, всі напруги і струми через і через будь-який елемент будуть проявляти таку ж синусоїдальну поведінку і частоту, що і вхід; ось як насправді працюють пасивні фільтри. Але я не можу розібратися або знайти конкретного / прямого підтвердження того, чому це відбувається, якщо не просте спостереження.

Я вилив мізки і врешті-решт знайшов приємний математичний підхід, щоб довести це, і вирішив відповісти на власне запитання. У такому ланцюзі рішення будь-якої напруги / струму через / через будь-який компонент (я називаю це ) завжди призведе до побудови диференціального рівняння, яке завжди лінійне, з постійними коефіцієнтами (за рахунок лінійних властивостей пасивних компонентів) і неоднорідні (за рахунок синусоїдального введення). Таке диференціальне рівняння завжди матиме таку форму: a d n$f$деa. . . k- константи (комбінації індуктивності, опору тощо),n- порядок диференціального рівняння (яке відображає кількість елементів накопичення енергії в ланцюзі), аC

$$a\frac{d^nf}{dt^n}+b\frac{d^{n-1}f}{dt^{n-1}}+...+j\frac{df}{dt}+kf=C\sin{(\omega t+\theta)}$$ $a...k$$n$ - узагальнена синусоїдальна функція що описує вхід. Загальне рішення цього диференціального рівняння завжди матиме такий вигляд: f = $C\sin{(\omega t+\theta)}$ де конкретний розчин = A sin ( ω t + θ ) + B cos ( ω t + θ ), який є синусоїдальною функцією однакової частоти! Тепер, при аналізі ланцюга змінного струму, ми завжди дивимося на ланцюг у стаціонарному стані, коли однорідний розчин наближається до нуля (що неминуче відбувається через опори в ланцюзі). $$f=\text{(general homogeneous solution)}+\text{(particular solution)}$$ $=A\sin{(\omega t+\theta)}+B\cos{(\omega t+\theta)}$

Це справедливо лише для ланцюгів LTI (лінійних часових інваріантів). Якщо у вас є неідеальний компонент (і всі вони в тій чи іншій мірі), ви побачите гармоніку вхідної частоти у виході. Індуктори, як правило, є найгіршими з партії, але всі пасивні частини мають таку поведінку. Наприклад, конденсатори можуть демонструвати сильний коефіцієнт напруги і не є інваріантними через діелектричне поглинання.

Для прямого (якщо приблизно приблизно 2-го курсу університету математики) математичного підтвердження ви можете прочитати ці курси Берклі (EECS20N: Сигнали та системи). Ви можете завантажити весь текст тут .

Це трапляється тому, що синусоїда - це лише одна лінія у спектрі частот, і незалежно від того, що ви робите з нею за допомогою лінійного фільтра або підсилювача, все, що відбувається, - це зміна фази або амплітуди.

Якби це була квадратна хвиля (нескінченна гармоніка), то застосування фільтра зменшило б або прискорило деякі частоти більше, ніж інші, і квадратна хвиля втратила б свою впізнавану квадратну форму.

Гармоніки квадратної хвилі: -

Gif джерело

Основна причина полягає в тому, що складові рівняння ідеальних компонентів R, L і C є лінійними, інваріантними рівняннями часу, що включають лише похідні та інтеграли (обидві лінійні операції), а синус і косинус змінюються на інші синуси та косинуси, коли діють на таких лінійних операторів.

Похідна та інтеграл синусоїдальної функції - це ще одна синусоїдальна функція однакової частоти (вона може змінюватися лише за амплітудою та фазою). KCL і KVL можуть призводити лише до алгебраїчних сум таких синусоїдальних функцій, і ця операція може виробляти лише іншу синусоїдальну функцію. Отже, врешті-решт, коли ви підключаєте R, L і C в мережі, синусоїдальний вхід завжди призведе до синусоїдального виходу.

Дивіться мою іншу відповідь тут .

Все це є прямим наслідком самоподібності експоненціальної функції (пов'язаної з синусами та косинусами за рівнянням Ейлера). Ви можете прочитати першу главу в Джорджі, "Фізика хвиль", щоб отримати повне пояснення цього.

$t=-\infty$$t=+\infty$$A \ x = \lambda \ x$$\lambda$являє собою складний скаляр, що несе інформацію про загасання та зсув фази) називають характерними, або власними, або власними розчинами систем. Вони можуть бути використані для побудови ортогональної основи з властивістю того, що будь-яка інша (добре сприйнята) функція може бути розкладена як узагальнена сума таких елементарних цеглин - і це приведе вас прямо на територію серії Фур'є, але це вже інша історія).

Коротке пояснення дано в першій відповіді на це запитання в Math SE: Чому ми використовуємо тригальні функції в перетвореннях Фур'є, а не інші періодичні функції?

$e^{iωx}$$S_h$$f(x)$$f(x−h)$$e^{iω(x−h)}=e^{−iωh} e^{iωx}$$x∈R$

Це справедливо лише при обмеженні пасивних елементів R, L, C та, можливо, кристалами, які належним чином керуються - і навіть тоді є два винятки, див. Нижче. Навмисні та ненавмисні діоди, варистори, термістори з тепловою масою та інші нелінійні елементи можуть швидко ввести спотворення на чисті синусоїдальні входи. Кристалічні фільтри або керамічні фільтри також можуть вести себе нелінійно. Якщо включати двоконечні елементи з негативним опором (газорозрядні трубки, тунельні діоди) до пасивної категорії, існує ще більше можливостей.

Винятки:

Частини реального світу, як правило, мають недосконалості, які змушують їх поводитись трохи як деякі нелінійні елементи. Резистори можуть мати "термістор з тепловою масою" і навіть "варистор" поведінки. Конденсатори можуть мати залежність від напруги у значенні через п'єзоелектричних ефектів, електричних полів, що виробляють механічну силу, хімічного впливу (в електролітиці). Крім того, здається, що деякі контури конденсаторів зафіксовані на електричних ефектах. Шви з металу до металу можуть розвинути діодну поведінку. Індуктори можуть стати нелінійними через насичення ядра, взаємодію магнітного поля з розташованими поблизу металевими предметами тощо ...

Усі резистивні компоненти, що несуть струм, виявляють певну поведінку, що створює шум, нижні межі якої визначені жорсткою фізикою.

Майте на увазі, що всі, здавалося б, несинусоїдальні, повторювані сигнали можуть бути ідеально описані як сума синусоїд різної частоти та фази.

Якщо ви шукаєте зв’язок із природою, ви будете їздити по колах: синусоїди - це головний компонент для створення кіл та овалів та круглих речей, згідно з математиками-вундеркіндами (якщо ви хочете намалювати коло на комп’ютері, зазвичай використовуєте синус / косинусові функції або певним чином використовувати теорему піфагора безпосередньо). Природа створює багато круглих речей (волосся, стебла рослин, вишні, вишневі плями, торнадо тощо), і для цього зберігається достатня кількість синусоїд.

"Схема" зазвичай вважається мережею компонентів, що мають "вхід" і "вихідний" порт. За допомогою теорії мережі, такої як закон Ома, ви можете отримати рівняння, «функцію передачі», що описує вихід з точки зору введення. З "лінійними" компонентами ви завжди знайдете "лінійну" функцію передачі.

Опишемо деякі лінійні компоненти з такими функціями, як output = F(input)і output2 = G(input2)т. Д. Потім комбінація таких компонентів призводить до комбінованої функції типу output2 = G(F(input1)). Оскільки обидві функції лінійні, таким чином, форми y = a * x + b, то ці комбінації також є лінійними.

При застосуванні синусоїдального вхідного сигналу до лінійної мережі вихід може бути посилений коефіцієнтом a і зміщений напругою b. За допомогою складних математичних або диференціальних рівнянь ви навіть можете отримати «фазовий зсув», але не різну частоту, оскільки похідна синуса має однакову частоту.

Ви хочете, щоб це було ще формальніше?

Або ваше приміщення помилкове, або ви неправильно сформулювали граничні умови.

Розглянемо простий пасивний пристрій, такий як діод. Він буде демонструвати нелінійну характеристику перенесення, що призводить до несинусоїдального виходу для даної задачі

Також розглянемо ідеальну резонансну (ЛК) схему з функцією передачі, що призводить до нульового виходу - таким чином, несинусоїдальним.

Власні функції лінійних інваріантних систем часу (і пасивні мережі, як правило, такого роду) є складними експоненціалами, а їх реальні суперпозиції - синоїди довільної фази.

Власна функція - це функція, яка змінюватиметься лише постійним (у цьому випадку складним) фактором при передачі через систему. Лінійні системи - це ті, де вихід, що відповідає сумі кількох входів, відповідає сумі виходу окремих входів, тому ви завжди можете їх аналізувати, виражаючи їх введення як зручну суму. Якщо ця сума може бути сумою, вираженою на ортогональній основі власних функцій, все стає набагато простішим.

Привіт аналіз Фур’є.