Чому константа часу становить 63,2%, а не 50% або 70%?

30

Я вивчаю схеми RC та RL. Чому постійна часу дорівнює 63,2% вихідної напруги? Чому він визначається як 63%, а не будь-яке інше значення?

Чи починає працювати схема на 63% від вихідної напруги? Чому б не на 50%?

— Бала Субраманійський
джерело

41

1 -е ^ -1 = 0,6321 ...

— Ендрю Мортон

3

Він збігається з 1 / пропускною здатністю, і це значення часу в першому порядку лага або . При радіоактивному розпаді вони використовують 50% ("період напіввиведення").

\frac{1}{1 + j ω τ}

$\frac{1}{1+j\omega\tau}$

\frac{1}{1 + τ s}

$\frac{1}{1+\tau s}$

— Чу

1

@AndrewMorton: Я не зовсім впевнений, що це говорить про мене, що я здогадався, що це буде відповідь саме з назви.

— Ільмарі Каронен

4

@code_monk: Настільки ж цікаво, як

e^{π} - π \approx 19.999

$e^\pi - \pi \approx 19.999$ ?

— Номінальна тварина

3

Просто нітпік: константа часу не визначається як 63%. Він визначається як обернена величина коефіцієнта в експоненті експоненціальної функції (чудові відповіді див. У цій нитці). Як наслідок , виявляється, що величина величини через проміжок часу, що дорівнює постійній часу, становить приблизно (з двозначною точністю) 63% від початкового значення.

— Лоренцо Донаті підтримує Моніку

64

Інші відповіді ще не торкнулися того, що робить e особливим: визначення постійної часу як часу, необхідного для того, щоб щось впало на коефіцієнт e, означає, що в будь-який момент часу швидкість зміни буде такою, що - якщо це швидкість була продовжена - час, необхідний для згасання, ні до чого не буде одночасним постійним.

Наприклад, якщо у вас є кришка 1uF і резистор 1M, константа часу буде одна секунда. Якщо конденсатор заряджений до 10 вольт, напруга впаде зі швидкістю 10 вольт / секунду. Якщо його заряджати до 5 вольт, напруга падає зі швидкістю 5 вольт / секунду. Той факт, що швидкість зміни зменшується, коли напруга робить, означає, що напруга насправді не знижується ні до однієї секунди, але швидкість зниження в будь-який момент часу буде напругою струму, поділеною на постійну часу.

Якби константа часу була визначена як будь-яка інша одиниця (наприклад, період напіввиведення), то швидкість розпаду вже не буде так добре відповідати постійній часу.

— суперкат
джерело

3

Це може бути найкращою відповіддю, оскільки він відповідає на питання " Чому? " Відчутним чином, а не показує " як " для його обчислення.

— Борт

Дивовижно, я не можу повірити, що я цього ніколи не дізнався! (До речі, графік зробить цю відповідь ще більш приголомшливою).

— Відновіть Моніку

1

Це відмінне інтуїтивне розуміння. +1

— Spehro Pefhany

1

"швидкість зниження в будь-який момент часу буде напругою струму". Я гадаю, що в той час як "струм" неоднозначний, обидва значення працюють.

— Нагромадження

11

@supercat - я додав графік вашого прикладу. Не соромтеся запропонувати будь-які зміни до нього.

— Відновіть Моніку

49

Він вбудований у математику експоненціального розпаду, пов'язаного із системами першого порядку. Якщо відповідь починається з одиниці при t = 0, то після однієї "одиниці часу", відповідь . Якщо ви дивитесь на час виконання, ви віднімаєте це від єдності, даючи 0,63212 або 63,2%. $e^{-1} = 0.36788$

"Одиниця часу" називається системою "константа часу" і зазвичай позначається τ (tau). Повний вираз для системної відповіді з часом (t) є

V (t) = V_{0} e^{- \frac{t}{τ}}

$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$

Тому константа часу - корисна кількість, яку потрібно знати. Якщо ви хочете безпосередньо вимірювати постійну часу, ви вимірюєте час, необхідний для досягнення 63,2% від його кінцевого значення.

В електроніці виходить, що константа часу (в секундах) дорівнює R × C в ланцюзі RC або L / R в ланцюзі RL, коли ви використовуєте оми, фаради і хенрі в якості одиниць для значень компонентів. Це означає, що якщо ви знаєте постійну часу, ви можете отримати одне із значень компонента, якщо знаєте інше.

— Дейв Твід
джерело

1

Для експоненціального занепаду або піднесення ми повинні використовувати ступінчасту реакцію для зменшення складності. Отже, це враховується e − 1. Я правда?

— Бала Субраманійський

@BalaSubramanian: так, правильно.

— Трейд Дейва

Але у мене є сумніви, наприклад, при розробці ланцюга RC для таймера або лічильника. Це розряди і заряди в певний період часу. Чи такий період часу такий, як постійний час. Перестає працювати необхідний ІМ або пристрій при 63% напруги?

— Бала Субраманіан

2

- \ln (1 / 3) = 1.0986

$-\ln(1/3) = 1.0986$

\ln (2 / 3) - \ln (1 / 3) = 0.6931

$\ln(2/3) - \ln(1/3) = 0.6931$

11

Розпад паралельного ланцюга RC з конденсатором, зарядженим до Vo

$Vo(1-e^{-t/\tau})$ $\tau$ $\cdot$

$\tau$

Іншими словами, константа часу визначається продуктом RC (або співвідношенням L / R), і, здавалося б, довільна напруга є результатом цього визначення і способу експоненціального розпаду або зарядки.

Експоненціальний розпад є загальним для різних фізичних процесів, таких як радіоактивний розпад, деякі види охолодження тощо і може бути описаний звичайним диференціальним рівнянням першого порядку (ODE).

Припустимо, ви хочете знати час, коли напруга дорівнює 0,5 початкової напруги (або кінцевої напруги, якщо заряджається від 0). Це (з вищесказаного)

$\ln(0.5)\tau$

$\tau$

— Спехро Пефаній
джерело

10

Це дуже грубе наближення.

— Арсенал

1

@Arsenal Я міг би використовувати MATLAB і отримати його до кількох тисяч десяткових знаків, якщо хочете.

— Spehro Pefhany

2

@Arsenal, я думаю, 22/7 теж недостатньо для вас? : D

— Wossname

3

22/7 - жахливе наближення до е. 19/7 набагато краще.

— alephzero

2

@SpehroPefhany (Wrt до того наближеного, з яким ви пов’язані) Я завжди вражений тим, як математики люблять проводити свій час (ну, мабуть, головоломки для них занадто легкі! :-)

— Лоренцо Донаті підтримує Моніку

3

Як додаток до інших чудових відповідей Дейва Твіда, суперкота та Спехро Фафані, я додам свої 2 копійки.

По-перше, трохи заповнення, як я писав у коментарі, константа часу не визначається як 63%. Формально він визначається як обернена коефіцієнт показника експоненціальної функції. Тобто, якщо Q - відповідна величина (напруга, струм, потужність, що завгодно), а Q з часом занепадає як:

Q (т) = Q_{0} е^{- к т} (к > 0)

$Q(t) = Q_0 \; e^{- k t} \qquad (k>0)$

Тоді константа часу процесу загнивання визначається як $\tau = 1 / k$ .

Як зазначали інші, це означає, що для $t = \tau$ кількість зменшилася приблизно на 63% (тобто кількість становить приблизно 37% від початкової величини):

\frac{Q (τ)}{Q_{0}} = е^{- 1} \approx 0,367 = 36.7 %

$\frac{Q(\tau)}{Q_0} = e^{-1} \approx 0.367 = 36.7 \%$

Які інші відповіді лише незначно доторкнувся є , чому цей вибір був зроблений. Відповідь - простота : константа часу дає простий спосіб порівняти швидкість еволюції подібних процесів. В електроніці часто константа часу може трактуватися як "швидкість реакції" ланцюга. Якщо ви знаєте постійні часу двох ланцюгів, то легко порівняти їх "відносну швидкість", порівнявши ці константи.

Більше того, константа часу - це величина, легко зрозуміла інтуїтивно. Наприклад, якщо я скажу, що ланцюг осідає з постійною часом $\tau = 1 \mu s$ , то я можу це легко зрозуміти через деякий час $3\tau=3\mu s$ (або можливо $5\tau=5\mu s$ , залежно від точності того, що ви робите) Я можу вважати минуще закінченим ( $3\tau$ і $5\tau$ є найпоширенішими варіантами вибору як правил, що стосуються звичайної перехідної тривалості).

Іншими словами, константа часу - це простий і зрозумілий спосіб передати масштаб часу, на якому відбувається явище.

— Лоренцо Донаті підтримує Моніку
джерело

-1

Це походить від $e$ постійне значення $1-e^{-1} \approx 0.63$ .

— Маттійс Хуйсман
джерело