Чи не в книзі неправильно критерій відбору проб Найквіста?

Чи неправильне наступне твердження з книги?

Я вважав, що вибірка з подвійною частиною найвищої частоти сигналу буде достатньою для повного відновлення сигналу. Але вище сказано, що відбір проб двічі створює зуб пили, як хвиля. Книга помилкова?

Я вважав, що вибірка з подвійною частиною найвищої частоти сигналу буде достатньою для повного відновлення сигналу. Але вище сказано, що відбір проб двічі створює зуб пили, як хвиля. Книга помилкова?

Книга помилкова, але не з тієї причини, яку ви думаєте. Якщо ви косієте до крапок, які вказують на зразки, це відбір проб з подвійною частотою.

Отже, спочатку слід намалювати деякі сигнали та відібрати їх у вибірку (або скористатися математичним пакетом, якщо вам не потрібні олівець та папір).

По-друге, теорема Найкіста говорить, що теоретично можливо реконструювати сигнал, якщо ви вже знаєте, що спектр вмісту сигналу суворо менший за 1/2 швидкості вибірки.

Ви реконструюєте сигнал, фільтруючи його низькочастотний. Перед фільтруванням сигнал може бути спотворений, тому ви повинні знати, що ви дивитесь, щоб побачити, що результат може виглядати нормально. Крім того, чим ближче спектр вмісту вашого сигналу до межі Nyquist, тим чіткішим буде обрізання у ваших фільтрах проти псевдонімів та відновлення. Теоретично це добре, але на практиці реакція фільтра у часовій області стає довшою приблизно пропорційно тому, наскільки різко він переходить зі своєї прохідної смуги в зону зупинки. Тож загалом, якщо зможете, ви зразок набагато вище Nyquist.

Ось малюнок, який відповідає тому, що мала сказати ваша книга.

Випадок A: один зразок за цикл (зразки зроблені очевидними)

Випадок B: два зразки на цикл, що приземляються на перехрестях - зауважте, що це той самий вихід , що і один зразок на випадок циклу, але тільки тому, що я взяв вибірку першого на перетинах.

Випадок С: Знову два зразки за цикл, але на цей раз в крайності. Якщо ви відбираєте вибірку рівно вдвічі більше частоти компонента сигналу, ви не можете його реконструювати. Теоретично ви можете взяти вибірку о-так-трохи нижче, але вам знадобиться фільтр з імпульсною реакцією, що охоплює достатньо результату, щоб можна було реконструювати.

Випадок D: Відбір проб на частоті сигналу 4 рази. Якщо ви з'єднаєте точки, ви отримаєте трикутну хвилю, але це не правильно - у вибірковому часі зразки існують лише "у крапках". Зауважте, що якщо ви поставите це через гідний фільтр реконструкції, ви отримаєте назад синусоїду, а якщо змінити фазу відбору, вихід буде зміщений однаково по фазі, але його амплітуда не зміниться.

Малюнок B вкрай неправильний. Він містить дуже гострі кути у вихідному сигналі. Дуже гострі кути дорівнюють дуже високій частоті, набагато вище частоти вибірки.

Для того щоб виконати теорему зразка Найквіста, вам потрібно відфільтрувати низькопрохідний відтворений сигнал. Після фільтрації низьких частот сигнал B виглядатиме як вхідний сигнал, а не як трикутник (оскільки всі гострі кути не можуть пройти фільтр низьких частот).

Для точності вам потрібно пропустити як вхідний, так і вихідний сигнал. Вхідний сигнал повинен бути низькочастотним, відфільтрованим до максимум половини частоти вибірки, щоб не "складати" більш високі частоти.

На жаль, це поширене хибне уявлення про те, як працює вибірка. Більш правильний опис буде використовувати функцію sinc для реконструкції (рекомендую шукати функцію sinc).

У реальних програмах неможливо мати «ідеальний» фільтр низьких частот (пропускаючи всі частоти нижче та блокуючи все вище). Це означає, що ви, як правило, вибираєте з частотою, щонайменше в 2,2 рази перевищує максимальну частоту, яку ви хочете відтворити (приклад: якість CD, відібрана на 44,1 кГц, щоб забезпечити максимальну частоту 20 кГц). Навіть за цією різницею буде важко створити аналогові фільтри - більшість реальних програм "перепробовують", як і фільтр низьких частот частково в цифровій області.

Теорема вибірки стверджує, що сигнал може бути ідеально реконструйований, якщо частота вибірки суворо перевищує вміст найвищої частоти в сигналі. Але ця реконструкція заснована на введенні (нескінченних) синхронізуючих імпульсів на кожен зразок. З теоретичної точки зору це дуже важливий результат, але практично неможливо досягти точно. Те, що описано на сторінці книги, - це метод реконструкції, заснований на нанесенні прямих ліній між зразками, який є зовсім іншим. Отже, я б сказав, що книга правильна, але вона не має нічого спільного з теоремою вибірки.

Дуже приємним оглядовим документом є Unser: Sampling - 50 років після Шеннона . Ваша проблема виникає через те, що чисті, нескінченні синусоїдальні сигнали не охоплені теоремою відбору проб Шеннона. Застосовна теорема для періодичних сигналів - більш рання теорема дискретизації Найкіста.

Теорема Шеннона вибірки відноситься і до функцій , які можуть бути представлені в вигляді

$x(t)=\int\limits_{-W}^WX(f)e^{i2\pi ft}\,df$

де X - функція, що інтегрується в квадрат. Тоді цей сигнал може бути точно представлений з дискретних зразків як

$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x(k\frac{T}2)\frac{\sin(\pi W(t-k\frac{T}2))}{\pi W(t-k\frac{T}2)}$

$T=\frac1{W}$$\frac1t$

Чиста функція синуса не міститься в цьому класі, оскільки його перетворення Фур'є складається з розподілів Дірака-дельти.

Більш рання теорема відбору виразів заявляє (або повторно інтерпретує більш раннє розуміння), що якщо сигнал періодичний з періодом Т і найвищою частотою W = N / T , то це тригонометричний поліном

$x(t)=\sum\limits_{n=-N}^NX_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t}$

з 2N + 1 (нетривіальними) коефіцієнтами, і ці коефіцієнти можуть бути реконструйовані (за лінійною алгеброю) з 2N + 1 проб за період.

Випадок функції чистого синуса належить до цього класу. Він обіцяє ідеальну реконструкцію, якщо брати зразки 2N + 1 за час NT .

Що було спільним з книги не говорить нічого про «Найквиста вибірки Критерій» - це говорить тільки про точку відбору проб синусоїди з гіпотетичним АЦП, а потім (неявно) побудова вихідного сигналу з використанням (не вказано) простий ЦАП, який виконує лінійну інтерполяцію між значеннями вибірки.

Враховуючи цей контекст, теза "ФІГУРА 6.10", як правило, є правильною та добре продемонстрованою.

Зі збільшенням частоти дискретизації АЦП збільшується вірність оцифрованого сигналу.

Якщо ви хотіли поговорити про вірність ідеалізованої реконструкції , це зовсім інша справа. Будь-яке обговорення швидкості Найквіста передбачає використання синполяційної інтерполяції, яка, знову ж таки, не показана на наведеному малюнку.

Справжньою вадою цієї фігури є думка про те, що точковий зразок - це осмислене поняття в техніці. Практично кажучи, АЦП буде підключений до компонента датчика, який працює, накопичуючи вхідний сигнал у реальному світі протягом певного періоду часу.

Дивно, але ця цифра , мабуть, помиляється (відключається в два рази) щодо конкретних частот дискретизації, показаних на діаграмах, хоча на показаний "Вихід" це впливає лише у випадку "C".

Користуючись цитованим твердженням вище, я знайшов страшно подібну діаграму в "Практичному підході до нейрофізіологічного інтраопераційного моніторингу" в дискусії про обробку сигналів ЕЕГ. Для чого це варто, обговорення включає в себе наступне:

Теорема, що описує мінімальну частоту дискретизації, необхідну для АЦП, щоб достовірно представляти аналоговий сигнал, відома як теорема Найквіста. У ньому йдеться про те, що частота дискретизації АЦП повинна бути більшою вдвічі більшою, ніж у найшвидшого частотного компонента форми хвилі.