Чому збільшення частоти вибірки полегшує реалізацію фільтра для згладжування?

З відповіді на запитання щодо швидкості вибірки та фільтра для згладжування я прочитав наступне:

Чим ближче ви до теоретичної мінімальної швидкості вибірки, тим складніше реалізувати аналоговий фільтр практично.

Якщо я не помиляюсь, це говорить, якщо наш коефіцієнт вибірки близький до необхідної теоретичної мінімальної частоти вибірки, тоді спроектувати аналоговий фільтр для згладжування буде складніше.

Я впевнений, що це має сенс для багатьох, але я не міг зрозуміти, що тут мається на увазі, і чому це так. Чи можна це пояснити на прикладі більш простим способом?

У міру зменшення частоти дискретизації відбувається менше розділення між зображеннями в частотній області.

джерело

Пам'ятайте, що повторення спектру відбувається на частоті вибірки. Коли зображення ближче один до одного, вам потрібно домогтися більшого ослаблення у вашому фільтрі проти згладжування. Фільтр повинен переходити від діапазону проходу до діапазону зупинки до появи наступного зображення.

джерело з цієї презентації

Для реконструкції сигналу в цифровій царині з аналогового простору потрібно щонайменше два зразки в кожному циклі найвищої частоти, присутньої в аналоговому сигналі. Наприклад, на компакт-дисках вони використовують 44,1 кГц для вибірки максимальної частоти в аудіодіапазоні 20 кГц. Вони могли використовувати 40 кГц, але це правильно на межі, і фільтр antiasas був би неможливим.

При частоті вибірки 44,1 кГц теоретично найвища частота аудіосигналу, яка може бути цифровим захопленням, не виникаючи збитків, буде 22 кГц. Що буде, якщо 24 кГц подаватимуться до системи цифрового відбору 44,1 кГц, ви можете запитати.

Це дозволило б подати сигнал в 20 кГц в цифровій царині, і це може погіршитися. Що робити, якщо сигнал був 30 кГц? Це стане 16 кГц у цифровій царині.

Це пояснюється тим, що підкреслене створення створює псевдонім: -

Зображення звідси .

Щоб уникнути цього, ви використовуєте фільтр, який забезпечує адекватне ослаблення між 20 і 24 кГц. Я кажу 24 кГц, тому що сигнал 24 кГц знаходиться прямо на межі становлення псевдонімічного реального аудіосигналу 20 кГц. Таким чином, для людей, які мають чудовий слух до 20 кГц (вже не мені), фільтр проти псевдонімів повинен забезпечити практично нульове загасання на 20 кГц і, можливо, до 80 дБ (або більше) ослаблення на 24 кГц.

Це досить фільтр високого порядку, і більшість інженерів, що займаються подібними системами, віддають перевагу співвідношенню більше 3: 1 для частоти вибірки до найвищої аналогової частоти.

Ваш фільтр antialias має три смуги

1) Пропускна смуга, від DC до Fwanted
2) Stopband, від Fsample-Fwanted до нескінченності
3) Перехідна смуга, від Fwanted до Fsample-Fwanted

Вартість фільтра (кількість ступенів, компонент Q, кількість множників) приблизно пропорційна зворотному перехідному діапазону і збільшується з глибиною в дБ зупинкової смуги.

Чим вище Fsample, тим ширша смуга переходу і тим дешевший фільтр

$f_s$

$f_s/2$

$f_s/2$$f_s/2$

$f_s/2$

$f_s/2$

Тому фільтр в ідеалі повинен:

$f < f_s/2$

але

$f > f_s/2$

Це неможливо зробити! Тож потрібен компроміс.

$f_s/2$$f_s/2$

Все стає набагато простіше, якщо ми або:

$f_s/2$

або

$f_s/2$

$f_s/2$

$f_s/2$

Скажімо, ваша діапазон інтересів становить від постійного струму до 100 ГГц, а ваш сигнал має обмежений діапазон білого шуму до 10 кГц. Скажімо, ви вирішили вибірки на частоті 2 кГц. Ви можете створити приємний фільтр з низьким полюсом з ослабленням 20 дБ / десятиліття та послабити шум, щоб мінімізувати згладжування.

Скажімо, ви хочете зробити вибірку на частоті 210 Гц. Вам потрібно побудувати фільтр високого порядку, щоб отримати достатнє ослаблення. Такі фільтри важче і дорожче проектувати і конструювати. Якщо вам вдасться зробити це правильно, ви отримуєте сигнал із значним фазовим викривленням у прохідній смузі.

Для аналогового фільтра ви повинні врахувати продуктивність фільтра в діапазоні найвищої частоти, що цікавить. Часто це означає, що вам потрібно встановити "fc" для аналогового фільтра трохи вище, ніж найвища частота, що цікавить (та / або використовувати більш різкий фільтр).

Щоб уникнути псевдонімування, вам потрібно зробити вибірку з частотою, що становить щонайменше вдвічі більшу частину найвищого компонента, який буде проходити через ваш фільтр на деякому максимальному рівні, при якому ви зможете переносити забруднення за допомогою сигналу, що відчувається. Це означає, що коефіцієнт вибірки становить щонайменше вдвічі fc, і часто він повинен бути трохи вище.

Отже, тепер, коли працює назад, більш високий коефіцієнт вибірки означає, що ви можете мати більший fc, а це означає, що ви можете легше мати рівну відповідь на деяку частоту, що становить інтерес, ніж fc.

Але . як ви, напевно, знаєте, шум збільшується із пропускною здатністю. Отже, для застосувань із низьким рівнем шуму, можливо, знадобиться встановити пропускну здатність фільтра консервативно.