Чому для аналізу змінного струму ми використовуємо

В аналізі змінного струму, , коли ми маємо справу з и л або 1 / s C . Але для перетворення Лапласа s = σ + j ω .$s=j\omega$$sL$$1/sC$$s=\sigma+j\omega$

Вибачте за те, що ви неоднозначні, але я хотів би зв’язати наступні питання:

• Чому сигма дорівнює нулю?
• Чи підключена до цього неперва частота?
• Чи дорівнює сигма нулю, оскільки вхідний сигнал є синусоїдою постійної ?$\pm V_{max}$

Звичайно, , за визначенням. Що відбувається, це те, що σ ігнорується, тому що він вважається рівним нулю. Причиною цього є те, що ми дивимось на реакцію системи на періодичні (і, таким чином, не згасаючі) синусоїдальні сигнали, завдяки чому Лаплас зручно зменшується до Фур'є вздовж уявної осі. Реальна вісь в області Лапласа представляє експоненціальні фактори занепаду / зростання, яких чистих сигналів немає, і які Фур’є не моделює.$s = \sigma + j\omega$$\sigma$

Для аналізу змінного струму передбачається, що ланцюг має синусоїдальні джерела (з однаковою кутовою частотою ) і що всі перехідні процеси розпадаються. Цей стан відомий як синусоїдальний стаціонарний стан або стаціонарний стан змінного струму .$\omega$

Це дозволяє схемі бути проаналізовані в фазора домені .

Використовуючи формулу Ейлера, ми маємо:

$v_A(t) = A \cos(\omega t + \phi) = \Re(Ae^{j\phi}e^{j\omega t})$

$v(t)$$\vec V_a = Ae^{j\phi}$

Звідси випливає, що за цих умов ми можемо проаналізувати схему, відстежуючи фазові напруги та струми та використовуючи такі співвідношення:

$\dfrac{\vec V_l}{\vec I_l} = j\omega L$

$\dfrac{\vec V_c}{\vec I_c} = \dfrac{1}{j\omega C}$

$\dfrac{\vec V_r}{\vec I_r} = R$

Потім ми відновлюємо рішення часової області за формулою Ейлера.

Тепер існує глибокий зв’язок між аналізом фазора та аналізом Лапласа, але важливо пам’ятати про повний контекст аналізу змінного струму, який, знову ж таки:

$\omega$

(2) всі перехідні процеси розпалися

$S=j\omega$

$\sigma=0$

Ви можете дізнатися більше на цій сторінці в Стенфорді .

Аналіз функції передачі трансформації Лапласа (TF) дає повну відповідь на синусоїдальний вхідний сигнал від t = 0. Рішення, як правило, містить перехідні терміни, які розпадаються на нуль експоненціально, і стаціонарні умови, які залишаються після зникнення експоненцій. Коли у нас є полюси і нулі TF, наприклад, s = -a + jw, частина '-a' дає експоненціальну (e ^ -at) відповідь, а jw частина дає синусоїдальну стійку відповідь: (e ^ jwt) = cos (wt) + jsin (wt). Якщо нас цікавить лише стаціонарна частина реакції (як це відбувається в аналізі частотної характеристики), то ми можемо просто використовувати підстановку s = jw в TF.

Зауважимо, що e ^ jx = cos (x) + jsin (x) - це «особистість Ейлера» і є одним з найважливіших і корисних стосунків у науці та техніці.

Це використовується лише для "Sin" та "Cos", що стосується сигналу змінного струму. Примітка: лапласова трансформація sin (at) або cos (at) "1 / jw + a" або "jw / jw + a", що це можна довести за допомогою ідентифікації гріха і cos, використовуючи тотожність Ейлера, яка в основному просто 2 експоненціалів, а лаплас експоненціалу має лише уявну частину "jw".

Я запишу доказ і розміщу його тут. :)

Якщо ви подивитесь на формулу перетворення Фур'є та Лапласа, ви побачите, що 's' є перетворення Лапласа замінено на 'jw' у перетворенні Фур'є. Ось чому ви можете отримати перетворення Фур'є від перетворення Лапласа, замінивши 's' на 'jw'.