За яких умов перетворення зоряної сітки перетворюється?

Всі ми знаємо і любимо перетворення Δ-Y (дельта-віє) ​​і Y-Δ (wye-delta) для спрощення мереж з трьома резисторами:

Зображення від Creative Commons

Перетворення Δ-Y та Y-Δ мають гарну властивість, що Δ завжди можна перетворити на Y, а Y завжди можна перетворити на Δ, незалежно від значення опорів, що стосуються.

Існує узагальнена версія перетворення Y-Δ, яка називається перетворенням зірка-сітка . Це перетворює "зірку" $N$ резисторів у "сітку" резисторів N C 2 .$^{N}C_{2}$

Зображення від Creative Commons

Вікіпедія припускає, що трансформація "зірка в сітку" завжди буде існувати, але що обернене перетворення "сітка в зірку" може не існувати. А саме:

Перетворення Замінює N резистори з Н С 2 резисторів. Для N> 3 результат - збільшення кількості резисторів, тому перетворення не має загального обернення без додаткових обмежень.$^{N}C_{2}$

Які обмеження повинні бути виконані, щоб існувати інверсія?

Мене особливо цікавить перетворення 4-вузлової сітчастої мережі в 4-резисторну мережу.

Мотивація до питання: У мене є модель промислових систем енергопостачання (насправді просто дуже велика мережа джерел постійного напруги та імпедансів), що містить ~ 2000 вузлів. Я намагаюся зменшити його лише до чотирьох вузлів, що цікавлять.

Редагувати:

На цю тему є опубліковані статті.

• Версфельд, Л., "Зауваження про зірко -сітчасте перетворення електричних мереж", Електронні листи, т.6, №19, с.597,599, 17 вересня 1970 р.

  Вивчаються два нові аспекти добре відомої трансформації зоряної сітки: (a) необхідні та достатні умови для перетворення даної загальної сітчастої мережі в еквівалентну мережу зірок; (b) розширення до мереж, що містять джерела.

• Бапесвара Рао, В.В. Аатр, В.К., "Меш-зіркова трансформація", Електронні листи, т.10, №6, стор.73,74, 21 березня 1974 р.

  Для даної сітчастої мережі існує еквівалентна зіркова мережа, якщо остання задовольняє ретрансляції Wheatstone. Використовуючи цей факт, показано, що всі позадіагональні коефіцієнти матриці прийому даного вузла такої сітчастої мережі рівні. З цієї властивості виводиться просте співвідношення між елементами двох мереж.

У мене немає доступу до IEEE Xplore, тому я не можу їх читати.

$N_b$$N_b=N_e-N_v$$N_e$$N_v$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$

$G_{XY}=\frac{G_XG_Y}{G_{TOT}}$$G_{TOT}=\sum_{i=1}^nG_i$$G_{XY}\ne0$$\frac{G_X}{G_Y}=\frac{G_{XZ}}{G_{YZ}}$$\frac{G_A}{G_B}=\frac{G_{AC}}{G_{BC}}=\frac{G_{AD}}{G_{BD}}\Rightarrow G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$$\frac{G_C}{G_D}=\frac{G_{AC}}{G_{AD}}=\frac{G_{BC}}{G_{BD}}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AD}G_{BC}$ and $G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}$ and so we finally have the $G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$ condition. So this is a necessary condition. But if the ratio between any two conductances of the mesh is known ,we can express the $G_{TOT}$ depending on only one of those, like $G_{TOT}=G_{A}+G_B+G_C+G_D=G_A(1+\beta+\gamma+\delta)$, where $\beta=\frac{G_B}{G_A}=\frac{G_{BC}}{G_{AC}}=\frac{G_{BD}}{G_{AD}}$, and so on..$\Rightarrow G_{AB}=\frac{G_AG_B}{G_{TOT}}=\frac{G_AG_B}{G_A(1+\beta+\gamma+\delta)}=\frac{G_B}{(1+\beta+\gamma+\delta)}\Rightarrow G_B=G_{AB}(1+\beta+\gamma+\delta)$. With similar calculations we can find all the 4 conductances(resistances) of the star.

I suppose all of this means the condition is also a sufficient condition.

What this is saying (whether it is true or not) is that there exists more than one way of assigning values to a star network of five resistors such that all the configurations appear indistinguishable according to all external "blackbox" measurements of resistance.

The mesh transformation is a red herring here. If the star networks were uniquely determined, then of course there would always be an inverse of any mapping from that network to any other type, back to that network.