Співвідношення та різниця перетворень Фур'є, Лапласа та Z

Я трохи заплутався в цих темах. Всі вони стали на мене однаково виглядати. Вони, схоже, мають такі самі властивості, як лінійність, зміщення та масштабування, пов'язані з ними. Я не можу здати їх окремо і визначити мету кожного перетворення. Також, який із них використовується для частотного аналізу?

Я не зміг знайти (у Google) повної відповіді, яка б вирішила цю конкретну проблему. Я хочу побачити їх порівняно на одній сторінці, щоб я міг мати ясність.

Перетворення Лапласа і Фур'є - це безперервні (цілісні) перетворення безперервних функцій.

Перетворення Лапласа відображає функцію на функцію складної змінної s , де .F ( s ) s = σ + j $f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

Оскільки похідна відображається до , перетворення Лапласа лінійного диференціального рівняння є алгебраїчним рівнянням. Таким чином, перетворення Лапласа корисне, серед іншого, для вирішення лінійних диференціальних рівнянь. sF(s$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

Якщо встановити реальну частину складної змінної s до нуля, , результатом є перетворення Фур'є яке по суті є частотним представленням області (зауважте, що це справедливо лише якщо для цього значення формула для отримання трансформації Лапласа , тобто вона не йде в нескінченність).F ( j ω $\sigma = 0$$F(j\omega)$σ f ( t $f(t)$$\sigma$$f(t)$

Перетворення Z по суті є дискретною версією перетворення Лапласа і, таким чином, може бути корисним для вирішення різницевих рівнянь, дискретної версії диференціальних рівнянь. Перетворення Z відображає послідовність на безперервну функцію складної змінної .F ( z ) z = r e j $f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

Якщо встановити величину z до одиниці, , то результат - дискретна трансформація Фур'є в часі (DTFT) яка по суті є частотним представленням області .F ( j Ω ) f [ n $r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

Перетворення Лапласа можуть вважатися супер-набором для CTFT. Ви бачите, що на ROC, якщо корені функції передачі лежать на уявній осі, тобто для s = σ + jω, σ = 0, як згадувалося в попередніх коментарях, проблема перетворень Лапласа зводиться до постійної трансформації Фур'є в часі. Щоб трохи відмовитися назад, було б добре знати, чому перетворення Лапласа еволюціонували в першу чергу, коли ми мали перетворення Фур'є. Розумієте, конвергенція функції (сигналу) є обов'язковою умовою існування трансформації Фур'є (абсолютно підсумовується), але у фізичному світі також є сигнали, де таких конвергентних сигналів неможливо. Але, оскільки їх аналіз необхідний, ми змушуємо їх сходитися, множивши на нього монотонно зменшується експоненціальний e ^ σ, що змушує їх сходитися за своєю суттю. Цей новий σ + jω отримує нову назву 's', яку ми часто підміняємо як 'jω' для реакції на синусоїдальні сигнали причинних систем LTI. У s-площині, якщо ROC перетворення Лапласа охоплює уявну вісь, то це перетворення Фур'є завжди буде, оскільки сигнал буде сходитися. Саме ці сигнали на уявній осі складаються з періодичних сигналів e ^ jω = cos ωt + j sin ωt (За Ейлером).

Так само, z-перетворення - це розширення для DTFT, по-перше, змушує їх сходитися, по-друге, щоб зробити наше життя набагато простішим. Справитись з az легше, ніж з ae ^ jω (задаючи r, радіус кола ROC як untiy).

Крім того, ви, швидше за все, використовуєте перетворення Фур'є, ніж Лаплас, для сигналів, які є безпричинними, оскільки перетворення Лапласа значно полегшують життя при використанні як односторонніх (однобічних) перетворень. Ви можете використовувати їх і з обох сторін, результат вийде однаковий з деякими математичними варіаціями.

Перетворення Фур'є призначені для перетворення / представлення функції, що змінюється за часом, у частотній області.

Перетворення Лапласа призначені для перетворення / відображення функції, що змінюється за часом, у "інтегральній області"

Z-перетворення дуже схожі на лаплас, але є дискретними перетвореннями в інтервалі часу, ближче до цифрових реалізацій.

Усі вони виглядають однаково, оскільки методи, які використовуються для перетворення, дуже схожі.

Спробую пояснити різницю між трансформацією Лапласа та Фур'є на прикладі, заснованому на електричних ланцюгах. Отже, припустимо, що у нас є система, яка описується відомим диференціальним рівнянням, скажімо, наприклад, що у нас є спільна схема RLC. Припустимо також, що для вмикання або вимкнення ланцюга використовується загальний комутатор. Тепер, якщо ми хочемо вивчити схему в синусоїдальному стані, ми повинні використовувати перетворення Фур'є. В іншому випадку, якщо наш аналіз включає перемикач ВКЛ або вимкнення ланцюга, ми повинні реалізувати перетворення Лапласа для диференціальних рівнянь.

Іншими словами, трансформація Лапласа використовується для вивчення перехідної еволюції реакції системи від початкового стану до кінцевого синусоїдного стаціонарного стану. Він включає не тільки перехідне явище від початкового стану системи, але і кінцевий синусоїдний стаціонарний стан.

Різні інструменти для різних робіт. Ще в кінці шістнадцятого століття астрономи починали робити неприємні розрахунки. Спочатку розраховували логарифми для перетворення множення та ділення на більш легке додавання та віднімання. Аналогічно, перетворення Лапласа і Z перетворюють неприємні диференціальні рівняння в алгебраїчні рівняння, які у вас є шанс вирішити. Серія Фур'є спочатку була винайдена для вирішення теплового потоку в цеглі та інших часткових диференціальних рівнянь. Пізніше з'явилося застосування вібраційних струн, органів труб та часових рядів.

У будь-якій системі LTI для обчислення функції передачі ми використовуємо лише перетворення Лапласа замість перетворення на фур'є або z, оскільки у фур'є ми отримуємо обмежений вихід; він не йде до нескінченності. І z перетворення використовується для дискретних сигналів, але системи LTI є неперервними сигналами, тому ми не можемо використовувати z перетворення .. Тому, використовуючи перетворення Лапласа, ми можемо обчислити функцію передачі будь-якої системи LTI.