Різниця між природною реакцією та вимушеною реакцією?

Довідково

Друге повідомлення на EdaBoard.com

Часова реакція системи - це еволюція часу змінних. У схемах це були форми хвилі напруги та струму проти часу.

Природна реакція - це реакція системи на початкові умови, коли всі зовнішні сили встановлені на нуль. У схемах це буде реакція ланцюга з початковими умовами (наприклад, початкові струми на індукторах та початкова напруга на конденсаторах) з усіма незалежними напругами, встановленими на нульовий вольт (коротке замикання), а джерелами струму встановлені нульові ампер (відкритий контур ). Природна відповідь ланцюга буде продиктована константами часу ланцюга і загальними коренями рівняння характеристик (полюсів).

Примусова відповідь - це реакція системи на зовнішній стимул з нульовими початковими умовами. У схемах це була б просто реакція ланцюга на функцію примушування зовнішнього напруги та джерела струму ... продовжити читання

Запитання

1. Як може бути навіть природна реакція? Щось потрібно ввести, щоб створити вихід? Як я бачу, це як повернути магістраль, а потім увімкнути змішувач і очікувати, що вода вийде.

2. Як ми можемо v(t)вирішити (за посиланням вище), якщо ми не знаємо dv(dt), щоб знайти природний відгук?

3. Якщо ви можете, будь ласка, розширити два поняття (природне реагування та вимушена відповідь), пояснивши їх відмінності в термінах Лаймана, було б чудово.

1. Дане рівняння 10dy/dt + 24y = 48означає rate of change of output + 24 * output = 48. Початковими умовами є y(0)=5і dy/dt=0.
   • Це означатиме, що вхід є 48/(24*5)Чи це правильне припущення? Рішення цього полягає в тому, 0.4який постійний вхід?

Подумайте про таку просту механічну систему, як еластична планка або блок, прикріплений до пружини проти гравітації, в реальному світі. Щоразу, коли ви дасте імпульс системі (до блоку або до планки), вони почнуть коливатися і незабаром вони перестануть рухатися.

Є такі способи, як ви можете проаналізувати подібну систему. Два найпоширеніші способи:

1. Повний розчин = гомогенний розчин + конкретний розчин

2. Повна відповідь = Природний резонанс (нульовий вхід) + вимушена відповідь (нульовий стан)

Оскільки система однакова, обидві повинні отримати одне і те ж кінцеве рівняння, що представляє однакову поведінку. Але ви можете відокремити їх, щоб краще зрозуміти, що кожна частина означає фізично (особливо другий метод).

У першому методі ви більше думаєте з точки зору системи LTI або математичного рівняння (диференціальне рівняння), де ви можете знайти його однорідне рішення, а потім його конкретний розв’язок. Однорідне рішення можна розглядати як перехідну реакцію вашої системи на цей вхід (плюс її початкові умови), а конкретне рішення може розглядатися як постійний стан вашої системи після / з цим входом.

Другий метод є більш інтуїтивним: природна реакція означає, якою є реакція системи на її початковий стан. І вимушена відповідь - це відповідь системи на даний вхід, але без початкових умов. Розмірковуючи про приклад, який я наводив, можна уявити, що в якийсь момент ти штовхнув планку руками і ти тримаєш її там. Це може бути ваш початковий стан. Якщо ви просто відпустите це, воно коливатиметься, а потім зупиниться. Це природна реакція вашої системи на цей стан.

Крім того, ви можете відпустити це, але все одно продовжує давати додаткову енергію системі, натискаючи її кілька разів. Система матиме природний відгук, як і раніше, але також демонструватиме додаткову поведінку завдяки додатковим зверненням. Коли ви знайдете повну відповідь вашої системи другим методом, ви зможете чітко побачити, яка природна поведінка системи внаслідок цих початкових умов і яка відповідь системи, якщо вона мала б лише вхідні дані (без початкових умов). Вони обоє разом представлятимуть всю поведінку системи.

І зауважте, що відповідь нульового стану (примусова відповідь) також може складатися з "природної" частини та "певної" частини. Це тому, що навіть при початкових умовах, якщо ви вводите вхід у систему, вона матиме перехідну відповідь + постійну відповідь стану.

Приклад відповіді: уявіть, що ваше рівняння представляє таку схему:

Який вихід y (t) - це струм ланцюга. І уявіть, ваше джерело - це джерело постійного струму + 48В. Таким чином, здійснюючи підсумовування напруги елемента в цьому закритому шляху, ви отримуєте:

$\epsilon=V_L+V_R$

Ми можемо переписати напругу індуктора та напругу резистора з точки зору струму:

$\epsilon=L\frac{di}{dt} + Ri$

Якщо у нас є джерело живлення + 48В ​​постійного струму та L = 10Н та R = 24Ом, то:

$48=10\frac{di}{dt}+24i$

що є еквівалентним рівнянням, яке ви використовували. Отже, чітко ваш вхід у систему (RL-ланцюг) - це ваш джерело живлення лише 48 В. Отже, ваш внесок = 48.

Початкові умови, які у вас є, y (0) = 5 і y '(0) = 0. Фізично це означає, що в момент = 0 мій струм ланцюга 5А, але він не змінюється. Ви можете подумати, що раніше щось трапилося в ланцюзі, яка залишила струм в індукторі 5А. Так що в даний момент (початковий момент) підвіконня має ті 5A (y (0) = 5), але воно не збільшується і не зменшується (y '(0) = 0).

Вирішуючи це:

ми спочатку припускаємо природну реакцію у форматі:$Ae^{st}$

і тоді ми знайдемо поведінку системи внаслідок її початкового стану так само, як якщо б у нас не було джерела живлення ( ), що є реакцією нульового входу:$\epsilon=0$

$10sAe^{st} + 24Ae^{st} = 0$

$Ae^{st}(10s + 24)=0$

$s=-2,4$

Тому,

$i_{ZI}(t)=Ae^{-2,4t}$

Оскільки ми знаємо, що i (0) = 5:

$i(0)=5=Ae^{-2,4 . 0}$

$A=5$

$i_{ZI}(t)=5e^{-2,4t}$

Зауважте, що до цих пір все узгоджується. Останнє рівняння являє собою системну відповідь без вводу. Якщо я поставлю t = 0, я знаходжу i = 5, що відповідає початковій умові. І якщо я покладу я знайду i = 0, що також має сенс, якщо у мене немає джерела.$t=+\infty$

Тепер ми можемо знайти конкретне рішення рівняння, яке буде представляти постійний стан завдяки наявності джерела живлення (входу):

ми припускаємо тепер, що де - постійне значення, яке представляє вихід системи в постійному стані, оскільки вхід також є постійною. Для кожної системи вихідний формат залежить від вхідного формату: якщо вхід є синусоїдальним сигналом, то і вихід буде. У цьому випадку ми маємо лише постійні значення, що полегшує справи.$i(t)=c$$c$

Тому,

$\frac{di}{dt}=0$

тоді,

$48 = 0.10 + 24c$ (використовуючи диференціальне рівняння)

$c=2$

$i(\infty)=2$

що також має сенс, оскільки у нас є джерело постійного струму. Тож після перехідної реакції включення джерела живлення постійного струму, індуктор буде вести себе як провід, і ми матимемо резистивний ланцюг з R = 24Ohms. Тоді ми повинні мати 2А струму, оскільки джерело живлення має 48В по всьому.

Але зауважте, що якщо я просто додам обидва результати, щоб знайти повну відповідь, у нас буде:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t}$

Тепер я переплутав речі в перехідному стані, тому що якщо я покладу t = 0, ми більше не знайдемо i = 5, як раніше. І ми повинні знайти i = 5, коли t = 0, оскільки це задана початкова умова. Це тому, що відповідь нульової держави має природний термін, якого немає, а також має той самий формат, який ми виявили раніше. Додавання його туди:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{st}$

Постійна часу однакова, тому вона залишила нам лише B:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{-2,4t}$

І ми це знаємо:

$i(t) = 2 + 5 + B = 5$ (t = 0)

Тому,

$B=-2$

Тоді ваше повне рішення:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} - 2e^{-2,4t}$

Ви можете подумати про цей останній термін, який ми вважаємо терміном виправлення вимушеної відповіді, щоб відповідати початковим умовам. Ще один спосіб знайти це уявлення тієї ж системи, але ні, без початкових умов. Тоді вирішуючи все заново, ми мали б:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t}$

Але оскільки ми зараз не розглядаємо початкові умови (i (0) = 0), то:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t} = 0$

А коли t = 0:

$A=-2$

тож вимушена (нульова) реакція вашої системи:

$i_{ZS}(t) = 2 - 2e^{-2,4t}$

Це трохи заплутано, але тепер ви можете переглядати речі з різних точок зору.

-Гомогенні / Конкретні розчини:

$i(t) = i_p(t)+i_n(t) = 2 + 3e^{-2,4t}$

Перший член (2) є конкретним рішенням і являє собою постійний стан. Решта правої сторони - тимчасовий відгук, який також називають однорідним рішенням рівняння. Деякі книги називають це також Природним реагуванням та Примусовою реакцією, оскільки перша частина є вимушеною частиною (через джерело живлення), а друга - перехідною або природною частиною (характеристика системи). Це найшвидший спосіб знайти повну відповідь, я думаю, тому що вам потрібно знайти один раз постійний стан і природну реакцію. Але може бути не зрозуміло, що являє собою що.

-Зеро вхід / нульовий стан:

$i(t) = i_{ZS}(t)+i_{ZI}(t) = 2 - 2e^{-2,4t} + 5e^{-2,4t}$

зауважте, що це те саме рівняння, але другий член розділений на два. Тепер перші два терміни ( ) являють собою відповідь нульового стану. Іншими словами, що буде з системою, якби не було початкового струму, і ви включили джерело живлення + 48В.$2 - 2e^{-2,4t}$

Друга частина ( ) представляє нульову відповідь. Він показує, що буде з системою, якби не було подано вхід (джерело живлення залишилось у 0 В). Це лише експоненціальний термін, який би перейшов до нуля, оскільки не має вхідних даних.$5e^{-2,4t}$

Деякі люди також називають цей природний / форсований формат відповідей. Природна частина була б нульовою, а примусова частина - нульовою державою, яка, до речі, складається із природного терміна та конкретного терміна.

Знову ж таки, всі вони дадуть той самий результат, який представляє всю ситуаційну поведінку, включаючи джерело живлення та початкові умови. Зауважте лише, що в деяких випадках може бути корисним використання другого методу. Хороший приклад - коли ви використовуєте згортки, і ви можете знайти імпульсну відповідь вашій системі за допомогою нульового стану. Таким чином, порушення цих термінів може допомогти вам зрозуміти речі чітко, а також використати адекватний термін для того, щоб переплутатись.

Як може бути навіть природна реакція? Щось потрібно ввести, щоб створити вихід?

Якщо це допомагає, розгляньте природну реакцію як вимушену відповідь на імпульсний вхід.

Як я бачу, це як повернути магістраль, а потім увімкнути змішувач і очікувати, що вода вийде.

Уявіть, що магістраль води підключена до великого утримуючого резервуара, як це використовується у системах з колодязною водою, і ви закриваєте клапан до водопроводу.

Резервуар наповнюється водою і під тиском води до тиску води перед тим, як закрити клапан. Це початкова умова .

Якщо відкрити кран, вийде вода . Утримуючий резервуар буде доставляти воду протягом певного періоду часу, оскільки резервуар утримується, а тиск у крані знизиться. Цей природний потік води та зменшення тиску були б природними реакціями системи.

Тепер, після випорожнення резервуара, ви швидко відкриєте основний клапан для води, поки кран ще відкритий.

Більша частина потоку води спочатку «заряджає» утримуючий резервуар, і, коли резервуар заповнюється і тиск накопичується, вода тече з краном, поки цистерна не заповниться, і витрата і тиск стабілізуються.

Це вимушена реакція на крок введення .

Ця проблема полягає в тому, що в підручниках не чітко визначено все, щоб кожен міг зрозуміти визначення. Природна реакція справді говорить про систему, яка (в якийсь момент) була «заряджена» таким чином, що елементи, що зберігають енергію, містять деяку кількість початкової енергії, яка може переводитись на початкову напругу в конденсаторі або на початковий струм в індукторі. Це призводить до початкових значень умов конденсаторів або індукторів. Тоді, в момент часу t = 0, передбачається, що магічне джерело, яке відповідало за зарядження ланцюга, миттєво видаляється. Отже, якби магічне джерело було джерелом напруги, то «видалення його» може означати фізичне його видалення або вимикання з ланцюга. Отже, в момент t = 0, природною реакцією буде просто поведінка струму через індуктор чи конденсатор, або напруга через конденсатор чи індуктор. І схема живиться тільки тими зарядженими спочатку компонентами (тому що ми не маємо «зовнішнього» джерела входу для часу t = 0 вперед).

Отже, для природного реагування це справді випадок, коли "колись був" якийсь зовнішній вхід для створення початкових умов в індукторах та конденсаторах. Тепер, якщо система не заряджалася для початку, таким чином, щоб усі напруги та струми конденсатора і струми були нульовими для початку, то яка б це була природна реакція системи? Відповідь: нуль.

Тепер вимушена реакція - це відгук ланцюга (наприклад, поведінки напруги чи поведінки струму) для випадку, коли ми припускаємо, що індуктори та конденсатори не мають початкової енергії для початку, а це означає, що в цих компонентах немає початкової напруги чи початкових струмів. . І тоді раптом ми застосовуємо зовнішню силу (джерело) на вхід схеми. Поведінка струмів та / або напруг ланцюга для цього сценарію просто називається іменем .... називається вимушеною реакцією. В основному, це відповідь на вхід джерела, заснований на припущенні, що ми почали з початкових умов енергії ZERO в індукторах та конденсаторах.

Після того, як ми використали методи, щоб зручно отримати природну відповідь та вимушену відповідь, ми просто додаємо обидві частини, щоб отримати повну картину. Начебто принцип суперпозиції.

Я не знайомий з терміном «примусова відповідь» у цьому контексті, але ось що. Багато систем можна охарактеризувати як перший порядок плюс мертвий час (FOPDT). "Природна реакція" такої системи на стимул - це початкова затримка, що супроводжується експоненціальним підходом до нового стаціонарного стану.

Подумайте про нагрівальний елемент, що постачається від джерела змінної напруги. Початкові умови - відключення живлення та нагрівач при температурі навколишнього середовища. Увімкніть, скажімо, 10 вольт. За короткий час (мертвий час) температура нагрівача не змінюється. Потім температура спочатку починає швидко зростати, потім поступово осідаючи при новому стаціонарному стані. Якщо ви уважно спостерігали за пов'язаними часом, у вас будуть три природні характеристики системи:

1. Коефіцієнт посилення - виражається у градусах / вольт. Якщо 10 вольт призвів до посилення в 20 градусів, тоді посилення = 2. Отже, для введення 20 вольт, слід очікувати збільшення на 40 градусів від навколишнього середовища.
2. Мертвий час - затримка, яку слід очікувати у відповідь на зміну введення. (за інерцією)
3. Постійна часу або природна частота - час від початку зміни до стаціонарного стану становить 5 постійних часу. (наприклад, зарядка конденсатора)

За допомогою цих даних ви зможете передбачити, яку зміну температури очікувати для даної зміни напруги та скільки часу це займе, тобто природну характеристику.

Я припускаю, що «вимушена реакція» спричинить за собою надмірне стимулювання системи до швидшого результату. Отже, щоб збільшити 30 градусів, ми знаємо, що нам потрібно введення на 15 вольт. Швидко збільшуючи напругу на 25 вольт, а потім відключаючи 10 вольт, ми могли досягти бажаної кінцевої температури швидше, тобто «примушуючи» швидше реагувати.