Математичний доказ того, що напруга RMS в рази струм RMS дає середню потужність

Я знаю, що це правда, тому що я читаю це у поважному джерелі. Я також інтуїтивно розумію, що потужність пропорційна квадрату напруги або струму для резистивного навантаження, і що "S" в RMS - це "квадрат". Я шукаю важкий математичний доказ.

Нехай $I_i$ Позначимо струм в момент $i$ , а також $V_i$ позначає напругу на той момент. Якщо ми можемо виміряти напругу та струм на всіх моментах, і є $n$ примірників, тоді середня видима потужність:

$$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

Що це елегантний математичний доказ

$$P = I_{RMS} V_{RMS}$$

досягає такого ж результату для резистивних навантажень?

Закон Ома

$$1: V(t) = I(t)R$$

Миттєве розсіювання потужності - добуток напруги та струму

$$2: P(t) = V(t)I(t)\\ $$

Замініть 1 на 2, щоб отримати миттєву потужність через резистор за напругою чи струмом:

$$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\ $$

Середня потужність - це, безумовно, інтеграл миттєвої сили за певний період, поділений на цей період. Замініть 3 на це, щоб отримати середню потужність з точки зору напруги та струму.

$$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\ $$

Визначення струму RMS

$$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\ $$ Квадрат з обох сторін $$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\ $$ Помножте на R, щоб знайти рівняння 4 на середню потужність $$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\ $$ Визначення напруги RMS $$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\ $$ Квадрат з обох сторін $$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\ $$ Розділіть на R, щоб знайти рівняння 4 на середню потужність $$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\ $$ Помножте вирази 7 і 10 на середню потужність $$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\ $$ Квадратний корінь з обох сторін $$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\ $$ QED

Дуже простий доказ (у випадку дискретного відбору вибірки у питанні) полягає в заміні E / R на I в рівнянні RMS

$$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$$

і дуже проста алгебра.

І так, це правда, тому що зазначено, що ми маємо суто резистивне навантаження, тому немає фазового кутового випромінювання і немає гармоніки в I, що також немає в E.

EDIT

визначення RMS для дискретних точок (з Вікіпедії):

$$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$$

$$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$$

and by Ohm’s Law

$$I_i = V_i/R$$ substitution:

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$$

then:

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$$

Pulling out the 1/R^2

$$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

so:

$$V_{RMS} * I_{RMS}$$ is:

$$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$$

distributing the 1/R:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$$

Using Ohm’s Law substitution again:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$$

which is:

$$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

The key is that for a resistive load, the voltage and current are in phase.

If the voltage and current are both $\sin(t)$, then then their product is given by the equality $\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$. The power is a sine wave of twice the frequency, which oscillates about $1/2$. This is its average over time (the "mean" of the "square"). The root of the mean square is $\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$. That's where we get that magic number.

The root mean square voltage or current are the DC equivalent voltage and current that will produce the same power dissipation over time. If the average power dissipation is $1/2$ W, then such a power dissipation can be steadily produced by $\sqrt{2}/2$ VDC multiplied by $\sqrt{2}/2$ A DC.

If current and voltage are out of phase 90 degrees (pure reactive load), then we can think of one as being $\cos(t)$ and the other being $\sin(t)$. The applicable equality is then $\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$. The power waveform is no longer "biased" to oscillate around $1/2$; its average is zero: power flows into and out of the load on alternate half cycles, as the power waveform swings positive and negative.

So to answer the question, the RMS voltage and current are defined based on the mean power: each one is derived from the square root of the mean power. Multiplying two values together that are obtained from the square root of the mean power, recovers mean power.

Lets simplify more this issue without math. Take this simple circuit that is produce a square waveform with a period of 10 sec.

The voltage is like this

and current is

Then the power waveform will be

When switch is open no power is delivered to the resistor so the total energy is 10 watts X 5 seconds= 50 Joules, and it is the same as we apply 5 watts in 10 seconds

and this is the average power. The average voltage is 5 volts and the average current is 0.5 ampere. Doing simple calculation, the average power results 2.5Watt or 25 Joules which is not true.

So let’s make this trick WITH THIS ORDER:

1. First square the voltage (and current)

2. Second take the average of the square

3. Then take the square root of the average

The square of the voltage waveform will be

And the average is 50V^2 (not 50^2 volt). From this point forget about the waveform. Only values. Square root of the above value is 7,071…volt RMS. Doing the same to the current will found 0,7071..A RMS And the average power will be 7,071V x 0,7071A= 5 Watt

If you are try to do the same with RMS power the result will be a meanigless 7,071Watt.

So the only equivalent heating power is the average power and the only way to calculate is to use the rms values of voltage and current