Як сила навантаження впливає на інерцію навантаження?

Я намагаюся імітувати лебідку як двигун з регулюванням швидкості, який працює через коробку передач, щоб підняти масу. Вихід коробки передач - барабан, який обертається, щоб накопичити кабель.

Мені комфортно перетворювати масу в момент інерції, і мені також зручно перетворювати цей момент інерції (вихідний бік) у момент інерції, "побачений" двигуном (на вході) зі відношенням коробки передач . За допомогою простого моделювання у мене немає проблем із написанням рівнянь руху.

Моє ускладнення виникає, коли я хочу моделювати "розтягування" в кабелі. Я подумав, що можу це зробити, просто поклавши пружину довільної жорсткості між барабаном лебідки та масою, як зображено нижче.

З цією моделлю, для моделювання, я припускаю, що я знаю "висоту барабана", яка би була наскільки далеко повернувся барабан, помножений на радіус барабана та висоту навантаження. Сила пружини була б , але як я застосувати це до двигуна ?$k(\phi r - y)$

У мене модель мотора:

$$\frac{\Theta}{V} = \frac{K_T}{R_a Js+K_T K_b}$$ та модель PI-контролера:

$$\frac{V}{\Theta_\mbox{error}} = \frac{k_p \left(s + \frac{k_i}{k_p} \right)}{s}\\ $$ де швидкість двигуна, це напруга на клемах, є інерції навантаження і машин, і , і є опір якоря двигуна, крутний момент постійний, і назад постійної ЕРС, відповідно.$\Theta$$V$$J$$R_a$$K_T$$K_b$

Взаємодія, яку я зацікавив у вивченні, відбувається, коли контролер PI налаштований на передбачувану інерцію навантаження , яку можна було б знайти з двигуном, коробкою передач, барабаном і масою навантаження, але система насправді "бачить" пружинну масу.$J$

Спрощення робиться шляхом установки , рівне , що дає:$k_i/k_p$$K_TK_b/R_aJ$

$$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{V}{\Theta_{\mbox{error}}}\frac{\Theta}{V} = \left( \frac{k_p \left( s + \frac{K_TK_b}{R_aJ} \right) }{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{s+\frac{K_T K_b}{R_aJ}} \right)$$

(Примітка: я можу залишити як змінну, оскільки відношення можна встановити на все, що я хочу через , доки не дорівнює нулю.)$k_p$$k_i/k_p$$k_i$$k_p$

Отже, в ідеальному світі, де значення "загальної" інерції відомо заздалегідь, полюс скасовується, і вся система зводиться до:$J$

$$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \left( \frac{k_p}{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{1} \right) \\ $$ $$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s}$$

Нарешті, , так, з алгеброю:$\Theta_{\mbox{error}} = \Theta_{\mbox{ref}} - \Theta_{\mbox{out}}$

$$\boxed{\frac{\Theta_{\mbox{out}}}{\Theta_{\mbox{ref}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s + 1}}$$

Отже, на жаль, так багато деталей, але я хотів вразити будь-кого, хто читає, що я відчуваю себе впевнено всіма своїми кроками досі і що я витратив чималі зусилля на роботу над цією проблемою. Тепер ще раз до мого питання - я хочу імітувати розтягнення в кабелі між барабаном і вантажем, але я не впевнений, як використовувати силу пружини для модуляції інерції навантаження.

Одна з думок, що я мав спробувати підробити "еквівалентну масу", припускаючи:

$$F = m_{\mbox{equivalent}}a \\ m_{\mbox{equivalent}} = \frac{F_{\mbox{spring}}}{a} \\ $$

але це не правильно, і я не впевнений, що б я використав для прискорення .$a$

Мені неприємно так далеко розійтися по проблемі, і наткнутися на те, що, здається, повинно бути легким питанням, але я дійсно не можу придумати спосіб підходу до цієї проблеми. Я думаю, що якщо я міг би це правильно поставити, я міг би відпрацювати механіку, але це перетворення сили на інерцію, я відчуваю, що потрібно зробити, що мене наткнуло.

Нарешті, для запису я також спробував відстежити свою модель мотора, щоб включити крутний момент навантаження. Це дає, здавалося б, розумні результати, але врешті-решт я віднімаю крутний момент від моменту мотора, щоб отримати чистий крутний момент, а потім застосую цей чистий крутний момент до загальної інерції для отримання прискорення двигуна. Це харчується низхідною лінією, і, знову ж таки, я не впевнений, що я правильно ставлюсь до загальної інерції.

Давайте спочатку обчислимо модель. Конструкція управління - це окреме зусилля.

Крутний момент, застосований до барабана, становить , де n - передавальне відношення, а - вихід, що створюється двигуном. , де - константа пропорційності, а - струм двигуна.$n T_M$$T_M$$T_M= K_T i(t)$$K_T$$i(t)$

Тепер ми можемо записати рівняння для механічної системи:

$$m y''(t)+m g-k (y(t)-r \theta (t))=0$$ $$J \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n K_T i(t)$$

Тут m - маса, а k - постійна пружини.

Щоб написати моторне рівняння, нам потрібно визначити задній ЕРС. Задня ЕРС пропорційна швидкості двигуна, і, щоб записати її через швидкість барабана, ми множимо її також на передавальне число n.

$$L i'(t)+R i(t)+n K_b \theta '(t)=V(t)$$

Тут - прикладена напруга, - індуктивність, - опір, а - константа пропорційності.$V(t)$$L$$R$$K_b$

Ці три рівняння мають як вхід, а , і як стани / виходи. Це можна використовувати для отримання моделі простору стану або моделі функції передачі. (Далі були отримані за допомогою Mathematica)$V(t)$$i(t)$$\theta (t)$$y(t)$

Тепер дизайн управління може початися ...

Оновлення

Оскільки існує деяка плутанина щодо інерції, яку слід використовувати, дозвольте мені уточнити відповідь. Я маю на увазі один набір передач у коробці передач - передача з інерцією на боці барабана і шестерня з інерцією на стороні двигуна.$J_1$$J_2$

У відповіді вище я знехтував інерцією передач. Єдина зміна, яку зараз потрібно зробити, - це змінити друге рівняння наступним чином.

$$\left(J+J_1\right) \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n i(t) K_T$$

Якщо рівняння для опису перехідної динаміки валу двигуна також бажане, то це додаткове рівняння, що передбачає (обертання валу двигуна), інерцію і т.д. положення барабана.$\theta_M$$J_2$

Розтягніть навесні дельту Отже, дельта Y не є постійною, але якщо вас цікавить delt Y_max $Y = A.sin(\omega.t) = A.sin\sqrt(k/m) . t$

дельта , за законом Гака. Тому що ваша система не прискорюється, окрім як на початку та в кінці, якщо припустимо, що шківа починається та зупиняється раптово, це ви максимум. Будь-яке поступове прискорення пуску / зупинки доведеться відняти від прискорення пружини, яке становить$Y max = m/k$

$- \omega^2 . t$
$\omega = \sqrt(k/m)$

дивлячись на вільну діаграму маси тіла
Як ви зазначали, сила -$K(\phi.r - y)$

$m.dx^2/dt^2 = -K(\phi.r-r)$
розділимо обидві сторони на K, отримаємо:

$m/K.dx^2/dt^2 +\phi.r=y$

$\omega^2.dx^2/dt^2 +\phi.r =y$

Сподіваюся, це допоможе.

Я усвідомлюю, що це стара нитка, і я не впевнений, наскільки глибоко занурився ти, нарешті, взявся за це, але одне, що я не бачу враховувати у ваших рівняннях, - це тертя барабана / кабелю. Це буде мало, і, як накопичена маса намотуваного сталевого дротяного канату, яку ви не включили, він може бути у вашому списку. Кабель може бути попередньо розтягнутим і попередньо завантаженим, однак будь-який рух між кабелем і барабаном через розтягнення кабелю також буде стикатися з тертям. У моїй індустрії (театральна установка, дизайн сценічного обладнання) канавка контактує на більшій площі, ніж на плоскому барабанному застосуванні, і ми зазвичай маємо додаткове тертя вздовж переспрямованих снопів і мулів в наборі ліній, що враховується особливо в 2: 1 або 4: 1 механічні системи переваг

Я думаю, що підхід Суби Томаса дає гарну модель: почніть з суми сил при навантаженні та суми моментів на барабані. Потім визначте потрібну модель мотора.

Початкова моторна модель патрона потребує жорсткої системи, де можна обчислити єдине значення для моменту інерції, тоді як мета моделі:

Взаємодія, яку я зацікавив у вивченні, відбувається, коли контролер PI налаштований на передбачувану інерцію навантаження , яку можна було б знайти з двигуном, коробкою передач, барабаном і масою навантаження, але система насправді "бачить" пружинну масу.$J$

Одна примітка про інерцію в рівнянні барабанного моменту Суба Томаса: Не забувайте про інерцію двигуна, що зросла до барабана. Залежно від обраного двигуна його вплив може бути значним. Тож я вибрав би$J = J_{motor} * i^2 + J_{drum}$