Скільки штатів потрібно виміряти для зменшеного спостерігача порядку?

У мене двигун постійного струму з трьома станами. Державами є:

= положення (градуси), $x_1$
= швидкість (градуси в секунду) $x_2$
= струм (Ампер). $x_3$

Вхід моєї установки вимірюється у вольтах. $u(t)$

Динаміка така, що:

І:

\begin{matrix} \frac{г Х}{г т} = А Х + Б у (т) \\ Y = С Х + D у (т) \end{matrix}

$\begin{gather} \frac{dX}{dt} = AX + Bu(t) \\ Y = CX + Du(t) \end{gather}$

\begin{aligned} А & = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{б_{м}}{J_{м}} & \frac{К_{м}}{J_{м}} \\ 0 & - \frac{К_{м}}{L} & - \frac{R}{L} \end{matrix}] \\ Б & = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{L} \end{matrix}] \\ С & = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ D & = [0] \end{aligned}

$\begin{align} A &= \left[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\dfrac{b_m}{J_m} & \dfrac{K_m}{J_m} \\ 0 & -\dfrac{K_m}{L} & -\dfrac{R}{L} \end{matrix}\right] \\ B &= \left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{1}{L} \end{matrix}\right] \\ C &= \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}\right] \\ D &= [0] \end{align}$

Де - інерція ротора, - в'язке демпфування, - опір арматури, - константа двигуна, і $J_m$ $b_m$ $R$ $k_m$ $L$ - індуктивність.

Моя мета - контролювати положення мого постійного двигуна.

Ранг моєї спостережливості матриці дорівнює числу станів в моїй системі, так що система повністю наблюдаема.

Q = звання ([\begin{matrix} С \\ С А \\ С А^{2} \end{matrix}])

$Q = \text{rank} \left(\left[\begin{matrix} C \\ CA \\ CA^2 \end{matrix}\right]\right)$

Я вимірюю позицію за допомогою кодера і сподіваюся зайняти для цього спостерігача зі зменшеним замовленням.

Розбиття матриці A на квадранти дає вимірювану та спостережувану динаміку:

А = [\begin{matrix} А_{11} & А_{12} \\ А_{21} & А_{22} \end{matrix}]

$A = \left[\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix}\right]$

У моєму випадку:

\begin{aligned} А 11 & = [0] \\ А 12 & = [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}] \\ А 21 & = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}] \\ А 22 & = [\begin{matrix} - \frac{б_{м}}{J_{м}} & \frac{К_{м}}{J_{м}} \\ - \frac{К_{м}}{L} & - \frac{R}{L} \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align} A11 &= [0] \\ A12 &= \left[\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}\right] \\ A21 &= \left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right] \\ A22 &= \left[\begin{matrix} -\dfrac{b_m}{J_m} & \dfrac{K_m}{J_m} \\ -\dfrac{K_m}{L} & -\dfrac{R}{L} \end{matrix}\right] \end{align}$

Тепер Спостережливість мого скороченого розділу спостерігачів:

Q_{О б с} = звання ([\begin{matrix} А_{12} \\ А_{12} А_{22} \end{matrix}])

$Q_{Obs} = \text{rank} \left(\left[\begin{matrix} A_{12} \\ A_{12}A_{22} \end{matrix}\right]\right)$

Ранг цього - 2 (повний ранг).

Я бачив в інших проектах, що повинна бути виконана наступна умова:

\begin{aligned} Q_{О б с} & \approx Q - (кількість штатів - кількість вимірюваних станів) \\ 2 & \approx 3 - (3 - 1) \\ 2 & \approx 1 \end{aligned}

$\begin{align} Q_{Obs} &\approx Q-(\text{number of states}-\text{number of measured states}) \\ 2 &\approx 3-(3-1) \\ 2 &\approx 1 \end{align}$

Скільки станів потрібно виміряти у зменшеному порядку спостерігача?
Чому мою систему можна повністю спостерігати, але я не можу виміряти всі стани моєї системи?
$Q_{Obs}=1$

Q_{О б с} \approx Q - (кількість штатів - кількість вимірюваних станів)

$Q_{Obs} \approx Q-(\text{number of states}-\text{number of measured states})$

спростити:

\begin{aligned} 1 & \approx 3 - (3 - 2) \\ 1 & \approx 2 \end{aligned}

$\begin{align} 1 &\approx 3-(3-2) \\ 1 &\approx 2 \end{align}$

Чи означає це, що система не спостерігається без вимірювання всіх трьох станів?

4. Якщо я припускаю, що механічна константа часу набагато повільніше електричної постійної часу (полюси ближче до 0 в реальній осі):

Чи можу я виміряти лише положення та оцінити швидкість, нехтуючи електричною динамікою?
Чи забезпечить це надійний оцінювач при впровадженні?

control-engineering control-theory

— Брет
джерело

Як сказав Суба Томас, виявляється, що ви можете вимірювати або спостерігати будь-яку комбінацію станів у зменшеній системі порядку. Плутанина для мене настала під час впровадження системи. Мене запускали, оскільки матриці в динаміці помилок часто множили на скаляри (через непарну кількість станів). Світ знову має сенс. Вираз у моєму третьому запитанні є хибним.

— Брет

$y$
Повна система спостереження означає, що, використовуючи доступне вимірювання, всі стани можна спостерігати або вимірювати опосередковано.
Рівняння не має сенсу. Але, як я вже згадував, вам не доведеться безпосередньо вимірювати всі штати.
Ви можете вимірювати лише положення і швидкість, а не нехтувати електричною динамікою. Використовуйте повну динаміку для оцінки струму. Це мета спостерігача.

Оновлення

$Q_{Obs}$ вас споживає. Спостережливість - властивість системи, а не спостерігача. "Спостережливість мого скороченого спостерігача" - це нісенітниця.

$A$ $B$ $C$ $D$ $u$ $y$

Якщо система спостерігається за допомогою одного вимірювання, то, безумовно, так і з двома. Знову ж таки, якщо у вас є достатня впевненість у цих вимірах, вони можуть бути використані безпосередньо, а спостерігач скороченого стану може бути використаний для оцінки лише стану, що залишився

— Суба Томас
джерело

Дякую. Щодо 3: Рівняння має бути нерівністю, а не приблизною ознакою. Оскільки у мене є система "один вхід-один-вихід", як я можу оцінити два стани, коли тільки один можна безпосередньо виміряти з виходу? Наприклад, моя динаміка помилок за моєю оцінкою повинна бути двовимірною, але залежною від одновимірного виводу. Але якщо я вимірюю два стани і оцінюю один, моя динаміка помилок є одновимірною, але це залежить від двовимірного виводу. Я не розумію, як це можна реалізувати. Чи є якийсь евристичний, який повинен бути задоволений як рівняння в 3?

— Брет

Я розширю відповідь. Коментар був би занадто довгим.

— Суба Томас