Чому неможливо створити спостерігача за цією не повністю спостережуваною системою?

Розглянемо 1D-точкову масу, що рухається по осі. Сила$u$застосовується як контроль. Ні гравітації, ні інших сил не задіяні. Систему можна описати в рівняннях простору стану як:

$$\begin{align} A &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ B &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{1}{M} \end{bmatrix} \\ C &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ D &= [0] \end{align}$$

Показана система є керованою, але не спостерігається. Навіть структурно не спостерігається і, звичайно, не повністю спостерігається. Таким чином, побудувати спостерігача для цієї системи не можна.

Однак, якщо я знаю початковий стан системи, я можу щоразу обчислювати повний стан, тобто інтегруючи вихід системи. Як це узгоджується з концепцією спостережливості? Як би я включив початковий стан у рівняння?

Я не можу знайти помилку в своєму потязі думок, але я впевнений, що вона є. Я неправильно розумію спостережливість?

Спостережливість означає, що ви можете оцінити повний стан, використовуючи лише вихід, не знаючи початкового стану. Іншими словами, ви повинні зрозуміти, де ви знаходитесь, не знаючи, де ви були спочатку.

Більш практична причина, чому це рідко працює, полягає в тому, що, якщо ви обмежені не досконалими датчиками і ненульовим часом відбору проб, взяття інтеграла прискорення призведе до зростання помилок у ваших оцінках позицій та швидкості. Таким чином, навіть якщо ви знаєте початковий стан, ви з часом «втратите його».