Критичне навантаження на пружини для пружини, що підтримується

Наведене вище - це минуле екзаменаційне запитання із вступного курсу структурного аналізу, в якому, хоча ми вивчали рівняння навантаження на Ейлера, ми щойно отримали параметри рівняння на основі стандартних кінцевих умов підтримки (фіксований / фіксований, фіксований / закріплений тощо). Я не думаю, що наведений вище приклад відповідає будь-якій із стандартних кінцевих умов, і тому мені важко отримати рівняння для Я намагався використовувати рівняння моменту згинання, включаючи крутний момент (що протистоїть згину) від B і чисте навантаження (за рахунок пружини C) наступним чином: Невеликий прогин x у вертикальному напрямку і y в горизонтальному: $P_{cr}$

$$T_B = \beta_r \theta$$ $$tan\theta = \frac{dy}{dx} \approx \theta$$ $$\therefore T_B = \beta_r \frac{dy}{dx}$$ Використовуючи рівняння моменту згинання: Чисте навантаження можна виразити в терміні сили P і сили реакції, пов'язаної з пружиною при C, як: Залишаючи остаточне рівняння другого порядку: $$M=-EI\frac{d^2y}{dx^2}$$ $$\therefore \sum M=-EI\frac{d^2y}{dx^2} + \beta_r \frac{dy}{dx} = Qy$$ $Q$ $$Q = P - \beta dx$$ $$EI\frac{d^2y}{dx^2} - \beta_r \frac{dy}{dx} + (P-\beta dx) y = 0$$

Це виходить за межі нашого курсу, тому я поняття не маю, якщо:
а) вищевказане рівняння є правильним чи вирішуваним (і якщо так, як можна вирішити його)
б) існує інший підхід із використанням більш основних методів (який є більш ніж ймовірно)

Щоб відповісти на конкретне питання: (а) ні, це рівняння не має значення і (б) так. Дивись нижче.

Питання не в справі Ейлера. Він говорить, що планка жорстка. Вигин Ейлера стосується лише гнучкої смуги - формули Ейлера включають модуль Юнга, а також момент інерційності смуги, про який не йдеться у питанні.

Одним із способів вирішення питання є використання принципу віртуальної роботи та порівняння енергії деформації в пружинах з роботою, виконаною зовнішньою силою P.

Ви також можете помітити, що умова пов'язана з геометрією трикутника ABC.$\beta_r = 3\beta L^2/2$