Як імітувати природні частоти планетарної коробки передач?

У мене є динамічна модель планетарної коробки передач вигляду:

$\mathbf{M{\ddot q}+{\Omega_c}G{\dot q}+{[K_b+K_m-\Omega_c^2K_\Omega]q}=T(t)+F(t)}$

: матриця жорсткості підшипників симетрична : матриця жорсткості безладу :матриця діагональної центрипетальної жорсткості : застосований зовнішній крутний момент : статична помилка передачі збудження : вектор з координатами руху та обертання для сонця, кільця і носія $K_b$ $K_m$ $K_\Omega$ $T$ $F$ $q$

Для вільних коливань у мене є рівняння:

$\mathbf{M{\ddot q}+{[K_b+K_m]q}=0}$

$\mathbf{-\omega_i^2M{\phi_i}+{[K_b+K_m]\phi_i}=0}$

Де - режими вібрації. $\phi_i$

$\mathbf{\omega_i^2M{\phi_i}={[K_b+K_m]\phi_i}}$

Я знаю, що терміном для гіроскопічного ефекту спочатку нехтують і немає введення збудження, оскільки це вільна вібрація. Але тоді я не розумію , де приходжу. $\Omega_c$ $\phi_i$

Я маю основні знання з теорії вібрацій для системи одного ступеня, але не для мульти DOF, що є таким випадком.

Мені потрібно визначити природні частоти та коливальні режими системи з цього рівняння, але я не знаю, як і з чого почати. У мене є початкові числові значення для жорсткості, маси, кута тиску носія, сонця та планети.

Число, як я можу знати, скільки у мене режимів вібрацій і як визначити їх за їх природними частотами? Як я вже сказав, я вперше маю справу з системою MDOF, і я багато читав, але ця модель далеко не складна, і математика мене бентежить.

— spe4ker
джерело

Ідеально було б, якби ви могли визначити кожну зі змінних у матричному рівнянні. Наприклад,

- матриця демпфування (симетрична), матриця обертання (антисиметрична) або комбінація демпфування та обертання (асиметрична)? Я буду відповідати, але це, безумовно, допоможе, якщо ви визначите символи.

G

$\mathbf G$

— Інволюцій

@SprocketsAreNotGears Я вивчив mathjax і включив усі інші рівняння, які я маю, я мав би заявити про них з початку, головна проблема, яку я маю зараз, полягає в тому, що я не знаю, як підставити всі значення або представляти остаточну форму рівняння , звідки я гадаю, що я міг би просто вирішити природні частоти та режими вібрації?

— spe4ker

Щоб отримати форми режимів і резонансні частоти, ви починаєте з рівняння руху без зовнішніх прикладних сил, що, як ви вже заявляли.

M \ddot{q} + K q = 0 (1)

$\mathbf M \mathbf{\ddot q} + \mathbf K \mathbf q = \mathbf 0 \qquad (1)$

Для стислості я пустив . $\mathbf K = \mathbf K_b + \mathbf K_m$

В даний час - це функція часу. Якщо система вібрує в му режимі, скрізь буде вібрувати на частоті в одній фазі, припускаючи, що немає демпфування. Тому можна припустити наступне: $\mathbf q(t)$ $i$ $\omega_i$ , де - уявне число, визначене як

q (t) = u^{(i)} \exp (j ω_{i} t) (2)

$\mathbf q(t) = \mathbf u^{(i)}\exp{(j\omega_i t)}\qquad(2)$

j

$j$

-форма

го режиму, що не залежить від часу. (Це припущення може здатися химерним, оскільки

є складним числом, але це не має значення в цьому сценарії, і використовується лише для того, щоб показати, що

є синусоїдальним у часі з частотою

. Еквівалентно, ви можете замість цього використовувати

\sqrt{- 1}

$\sqrt{-1}$

u^{(i)}

$\mathbf u^{(i)}$

i

$i$

\exp (j ω_{i} t)

$\exp{(j\omega_i t)}$

q (t)

$\mathbf q(t)$

ω_{i}

$\omega_i$

q (t) = u^{(i)} (A \sin ω_{i} t + B \cos ω_{i} t)

$\mathbf q(t) = \mathbf u^{(i)} (A \sin{\omega_i t} + B \cos{\omega_i t})$

Зауважте, що:

\ddot{q} (t) = \frac{d}{d t} (u^{(i)} \exp (j ω_{i} t)) = - ω_{i}^{2} u^{(i)} \exp (j ω_{i} t) (3)

$\mathbf {\ddot q}(t) = \frac{d}{dt}\left(\mathbf u^{(i)}\exp{(j\omega_i t)}\right)=-\omega_i^2\mathbf u^{(i)}\exp{(j\omega_i t)}\qquad (3)$

Підставивши рівняння (2) та (3) на (1), ви отримаєте наступне, зазначивши, що експоненціальні функції скасовуються:

(- ω_{i}^{2} M + K) u^{(i)} = 0 (4)

$\left(-\omega_i^2 \mathbf M + \mathbf K \right) \mathbf u^{(i)}=0 \qquad (4)$

$\mathbf A \mathbf x = \lambda \mathbf B \mathbf x$ $\mathbf A \mathbf x = \lambda \mathbf x$ $\omega_i^2$ $\mathbf u^{(i)}$ . Отримання власних значень та власних векторів передбачає вирішення узагальненої задачі про власне значення. Є два основні підходи: обчислення вручну або чисельне обчислення. Для вашої проблеми останній, безумовно, буде рекомендованим варіантом, однак перший повинен допомогти з меншими проблемами і надати деяке розуміння того, як вирішуються узагальнені проблеми власного значення.

РОЗРАХУНКАННЯ РУКІВ

$\mathbf A \mathbf u^{(i)} = \mathbf 0$ $\mathbf u^{(i)}=\mathbf 0$ $\mathbf u^{(i)}\ne\mathbf 0$ $\mathbf A$ $\mathbf A$ $\mathbf u^{(i)} = \mathbf A^{-1} \mathbf 0 = \mathbf 0$

| A | = | - ω_{i}^{2} M + K | = 0

$\left| \mathbf A \right| = \left| -\omega_i^2 \mathbf M + \mathbf K \right| = 0$

$\omega_i^2$

Наприклад, скажіть:

M = [\begin{matrix} m & 0 \\ 0 & m \end{matrix}] K = [\begin{matrix} 2 k & - k \\ - k & 2 k \end{matrix}]

$\mathbf M = \left[\begin{matrix} m & 0\\ 0 & m\\ \end{matrix}\right] \qquad \mathbf K = \left[\begin{matrix} 2k & -k\\ -k & 2k\\ \end{matrix}\right]$

Визначальним фактором буде:

| \begin{matrix} 2 k - ω_{i}^{2} m & - k \\ - k & 2 k - ω_{i}^{2} m \end{matrix} | = 0

$\left|\begin{matrix} 2k-\omega_i^2 m & -k\\ -k & 2k-\omega_i^2 m\\ \end{matrix}\right| =0$

Розгортаючи детермінантний вираз, отримуємо многочлен:

(2 k - ω_{i}^{2} m)^{2} - k^{2} = 0

$(2k-\omega_i^2 m)^2-k^2=0$

Два корені яких:

ω_{i}^{2} = \frac{k}{m}, \frac{3 k}{m}

$\omega_i^2 = \frac{k}{m},\frac{3k}{m}$

Отже, дві резонансні частоти:

ω_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} ω_{2} = \sqrt{\frac{3 k}{m}}

$\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}} \qquad \omega_2 = \sqrt{\frac{3k}{m}}$

$\mathbf M$ $\mathbf K$

Для отримання власного вектора, відповідного конкретному власному значенню, підставляємо назад у рівняння (4), щоб отримати ряд одночасних рівнянь, для вирішення яких слід визначити власний вектор.

$\omega_1^2$ $\omega_i=\omega_1$

[\begin{matrix} 2 k - k & - k \\ - k & 2 k - k \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{1}^{(1)} \\ u_{2}^{(1)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k u_{1}^{(1)} - k u_{2}^{(1)} \\ - k u_{1}^{(1)} + k u_{2}^{(1)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}]

$\left[\begin{matrix} 2k-k & -k\\ -k & 2k-k\\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} u^{(1)}_1\\ u^{(1)}_2\\ \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} k u^{(1)}_1-k u^{(1)}_2\\ -k u^{(1)}_1+k u^{(1)}_2\\ \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0\\ 0\\ \end{matrix}\right]$

$u^{(1)}_1 = u^{(1)}_2$

u^{(1)} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]

$\mathbf u^{(1)} = \left[\begin{matrix} 1\\ 1\\ \end{matrix}\right]$

Числові обчислення

Здається, ваша проблема не вдається зробити вручну. На щастя, існує безліч різних алгоритмів власного вирішення, які присвячені вирішенню цієї самої проблеми.

Кілька з них включають:

Спосіб ітерації потужності
Метод Ланцоса
Метод Крилова-Шура
Метод Якобі-Девідсона

Щоб пояснити, як працює кожен з цих алгоритмів, знадобиться більше часу, ніж у мене зараз, однак я б напевно рекомендував відстежувати ці алгоритми, читаючи, як вони працюють, і використовуючи їх для вирішення узагальненої задачі про власне значення.

Сподіваюсь, це допомагає.

— Інволюція
джерело

Відмінне пояснення. Однак для деяких із нас, хто в основному робить рідини та торкаються вібрації лише тоді, коли хтось запитує: "А чи тут МЕ?", Примхливість та критичне затухання зробить це дуже приємним орієнтиром, до якого слід повернутися.

— Марк

@SprocketsAreNotGears Це пояснення чудово! і це в основному те, що мені потрібно було почати. Одне питання: теоретично, чи будуть природні частоти, які я обчислюю за цим аналітичним / числовим підходом, однаковими, які я отримую з експериментальним модальним аналізом? чи є інші фактори, які я повинен врахувати?

— spe4ker