Принцип віртуальної роботи проти другої теореми Кастільяно

Я заглянув в Інтернет і в деяку літературу, проте, схоже, я не знайшов хорошого порівняння для двох різних методів. Вони використовуються для визначення переміщень та схилів (обертання тета) у точці континууму. Колишній використовує силу віртуальної одиниці, яка дорівнює енергії деформації в елементі (при множенні на переміщення на інтерес), а остання використовує диференціальну щодо віртуальної сили, яка прагне до нуля.

Який з них більш ефективний, а який більш точний? Чому б вибрати «Віртуальну роботу над Кастільяно» чи навпаки?

Короткий відповідь: Кастільяно дає швидкі точні рішення у кількох ключових моментах великої складної структури, в той час як віртуальна робота дає корисні приблизні моделі до складних систем, які в іншому випадку були б нерозв'язними.

Теорема Кастільяно та віртуальна робота - дві сторони однієї математичної монети. Методи Кастільяно передують віртуальній роботі, але починають основні принципи віртуальної роботи. Він утворює більш просту половину віртуальної роботи, де переміщення можна було б вирішити за допомогою лінійного аналізу, але ми використовуємо віртуальну роботу для швидшого отримання відповіді. Віртуальна робота описана для другої половини, де нам не вдалося вирішити переміщення за допомогою лінійного аналізу (без розв’язання диференціальних рівнянь і кидання в купу купі коефіцієнтів), і ми покладаємось на віртуальну роботу замість того, щоб знайти гарну приблизну відповідь, яка підходить багатьом з граничні умови.

Як було сказано вище, у більшості застосувань інженерів, що застосовуються для методу Кастільяно, головним принципом є використання того, що відомо з лінійної пружної балки або теорії ферми (її можна використовувати в різних аспектах для цих структур), і швидко вирішити для структури піддаються вкрай незвичним силам. Рівняння для сил записується в термінах багатьох невідомих сил статично визначної структури, а потім невідомі сили будуть видалені. Застосовуються одна з невідомих (або незвичних, але відомих) сил, і лінійні моделі та таблиціВикористовувані для одиночних сил можуть швидко сказати нам фактичне переміщення в різних точках будови. Одинична сила може спричинити 500 ньютонів сили в точці реакції на ньютон початкової сили, або 5 ньютонів. Це записано. Невідома сила знімається, а нова сила додається та випробовується. Після того, як всі ці реакції та сили будуть знайдені, метод Кастільяно може потім вирішити, який би був остаточний прогин для всього стану навантаження, якого не можна знайти в таблиці розв’язаних станів навантаження. Це особливо корисно у випадку, коли є пружні опори, опори, які відхиляються залежно від того, яку силу вони застосовують, що відбувається в будь-якій реальній системі. Єдиним обмеженням цього підходу є те, наскільки деталізовані таблиці та принцип суперпозиції. До тих пір, поки система може оброблятися за допомогою суперпозиції,

Принцип віртуальної роботи виходить за рамки цього принципу - ідея полягає в тому, щоб просто написати рівняння для переміщень з невідомими коефіцієнтами. Це може бути рішенням керуючої DE, або воно може бути абсолютно неточним, але воно повинне бути спроможним вирішити всі граничні умови (у точці A зміщення дорівнює 0 тощо). Для променів прийняття другої похідної рівняння переміщення призводить до рівняння моменту, а третє результати - рівняння зсуву. Для пластин та іншого континууму зміщення є деформацією, меншою за довжину. Будь-які умови напруження можна записати як тензор жорсткостіразів напруження, тому всю віртуальну роботу в принципі можна виразити просто через наше невідоме рівняння переміщення. Отже, робота полягає просто у вирішенні таких невідомих коефіцієнтів, щоб вони мінімізували віртуальну роботу (як потенційну енергію для статичних систем, так і суму потенційної енергії та кінетичної енергії для динамічних систем).

Приклад цього часто наводиться з рівняннями, що використовуються для аналізу кінцевих елементів, де замість нормально квар- тичних рівнянь переміщення використовується для переміщення кубічне рівняння. Це тому, що ми маємо щонайменше два ступені свободи для обертань і два ступені свободи для переміщень, тож найбільше ми можемо мати чотири невідомих коефіцієнта - кубічне рівняння. Зауважте, це означає, що FEA потім повинна розділити розподілене навантаження на точкові навантаження, які дозволяють кубічному рівнянню мати ті ж прогини, що й вихідні квартичні. Це є причиною того, що окремі елементи не показують ті ж прогини середнього прольоту, що й вихідні кварцики:

Навіть без суперпозиції, принцип віртуальної роботи все ще діє, доки ваш тензор жорсткості пояснює зміну напруги щодо напруги. Для використання замість тензора жорсткості може знадобитися незалежне невідоме рівняння напруги. Варіанти подібного роду використовуються в багатьох сферах інженерами, які потребують складання математичних моделей своїх систем, які складають основу практично для всіх методів кінцевих елементів. Підсумовуючи це, Кастільяно дає швидкі точні рішення у кількох ключових моментах великої складної структури, тоді як віртуальна робота дає корисні орієнтовні моделі складним системам, які в іншому випадку були б нерозв'язними.