Тензор жорсткості в двох вимірах

Я розумію, що відношення деформації / напруження площини зазвичай використовуються для двовимірних матеріалів. Мені було цікаво, якщо ми розглянемо 2D-матеріал, що діє в 2D-просторі, чи маємо би матрицю жорсткості, наприклад а не просто плоскі відносини деформації / напруження, накладені на класичний тензор жорсткості в 3D. Чи існують ситуації, коли така постановка була б доречною у реальному світі? Дякуємо за розуміння!

$$\begin{equation*} \left[ \begin{array}{ccc} C_{1111} & C_{1122} & C_{1112} \\ & C_{2222} & C_{2212} \\ & & C_{1212} \end{array} \right] \end{equation*}$$

Як згадував Апостолос вище, реальний світ складний. Тенор жорсткості, який ви написали правильним, але для більшості застосувань, припускаючи, що напруга або напруження площині достатньо, особливо якщо мова йде про ізотропні матеріали. Якщо ви не робите припущень, вам доведеться знайти 6 констант, що не обов'язково легко.

Якщо розширити тензор жорсткості до 3D, ви отримаєте наступне

$$\begin{bmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \sigma_{4} \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\ C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{1} \\ \varepsilon_{2} \\ \varepsilon_{3} \\ \varepsilon_{4} \\ \varepsilon_{5} \\ \varepsilon_{6} \end{bmatrix}$$

Тут це набагато гірше, ніж у випадку 2D, тому що ви повинні знайти 36 констант, припускаючи, що матриця не симетрична. Це найповніша характеристика матеріалу. Проблема в тому, що це багато тестування, яке дуже важко! Тому припущення робляться для того, щоб спростити та зменшити кількість необхідних констант.

$E$$\nu$$G$

$$\begin{bmatrix} \varepsilon_{1} \\ \varepsilon_{2} \\ \varepsilon_{3} \\ \varepsilon_{4} \\ \varepsilon_{5} \\ \varepsilon_{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{E_1} & -\frac{\nu_{21}}{E_2} & -\frac{\nu_{31}}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu_{12}}{E_1} & \frac{1}{E_2} & -\frac{\nu_{32}}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu_{13}}{E_1} & -\frac{\nu_{23}}{E_2} & \frac{1}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2G_{23}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2G_{13}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2G_{12}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \sigma_{4} \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6} \end{bmatrix}$$

У реальному світі це "справжня" жорсткість, тому що нічого не є ідеальним та однорідним. Ми просто спрощуємо речі, припускаючи напругу або пляма, тому що ми не маємо всієї картини, або це не так легко отримати.

Простий для вас приклад - думка. Деревина має різну жорсткість у кожному напрямку (анізотропний матеріал).