Виведення для оцінки природних частот мосту в єврокодах

Єврокоди дають таке рівняння для оцінки "просто підтримуваного моста, що підлягає лише згину" *:

$$n_0 = \frac{17.75}{\sqrt{\delta_0}}$$

Де

• - природна частотав герцах$n_0$
• - прогин середнього прольоту при постійних діяху мм$\delta_0$

Рівняння, здається, вирване з тонкого повітря, і немає пояснення, звідки походить константа 17,75. Як інженер, я ненавиджу використовувати формулу, яку я не розумію, але більше того, було б корисно вивчити основи, що стоять за нею, щоб я міг бачити, чи можна змінити її для роботи з іншими умовами підтримки.

Чи може хтось надати похідне / фундаментальне походження для цих відносин?

* Повна посилання: EN 1991-2: 2003 6.4.4 [Примітка 8] (Рівняння 6.3), якщо це допомагає.

Якщо ми спростимо весь міст на 2D тонкий промінь з постійним розміром секції, без внутрішнього демпфування і підлягаємо лише невеликим вертикальним відхиленням, то природна частота визначається простим гармонічним рухом:

$$n_0 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k } { m } }$$

Де - природна частота, k - відношення між відновлювальною силою і відхиленням (еквівалент "жорсткості пружини") і m - маса на одиницю довжини променя.$n_0$$k$$m$

У пучку відновлювальна сила - це внутрішній зсув, викликаний відхиленою формою. Оскільки сила, яку проявляє промінь, пропорційна швидкості зміни зсуву, яка пов'язана з жорсткістю ( ) і швидкістю зміни моменту, вона може бути показана (зверніть увагу: прогин пропорційний довжині промінь), що:$EI$

$$k = \alpha \frac{ EI } { L^4 }$$

$E$$I$$L$$\alpha$

Вся література, яку я бачив, виражає це так, що зручніше для рівняння частоти:

$$k = \left( \frac{ K }{L^2} \right)^2 (EI)$$

Замінившись,

$$n_0 = \frac{ K }{ 2 \pi L^2 } \sqrt{ \frac{ EI } {m} }$$

$K$

$K$$EI$$k$

Для цього вони використовували такі відносини:

$$\delta_0 = C \frac { w L^4 } { EI }$$

$\delta_0$$C$$w$

$w = gm$$g$

Тому (переоформлено :)

$$\sqrt { \frac { EI } { m } } = L^2 \sqrt { 9810 } \frac { \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

І так:

$$n_0 = \frac { 15.764 K \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

$K$$C$

Для просто підтримується балки:

$$K = \pi ^ 2 \text{ and } C = \frac { 5 } { 384 }$$ $$15.764 K \sqrt { C } = 17.75$$ $$n_0 = \frac{ 17.75 } { \sqrt { \delta } }$$

Ось можлива відповідь.

Я знайшов цей документ (не впевнений у точному джерелі), який містить пов'язане виведення:

$$n_0=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$ $k$$m$

$$k=\frac{\text{load}}{\text{deflection}}=\frac{F}{\delta}$$ $F$$\delta$ $$n_0=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{F}{m\delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{ma}{m \delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $$n_0=5.03 \sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $a=12.4382$

Про це є ще кілька відомостей у книзі Ладислава Фріби «Динаміка залізничних мостів» (1996). Якщо ви прочитаєте главу 4, ви побачите формулу 4.53 на сторінці 92:

$$f_1 = 17.753 v_{st}^{-1/2}$$

$f_1$$v_{st}$

Це рівняння випливає з формули прогину середнього прольоту просто підтримуваного променя, завантаженого рівномірним розподілом навантаження мкг

$$v_{st} = {5 \above 1pt 384} {\mu gl^4 \above 1pt EI}$$

який заміщений в

$$f_j = {\lambda_j^4 \above 1pt l^4} ({EI \above 1pt \mu})^{1/2}$$

$$\lambda_1 = \pi$$

Підставлення цих рівнянь між собою за допомогою g = 9,81 м / с ^ 2 дає

$$f_1 = {\pi \above 1pt 2} ({5 \above 1pt 384} g)^{1/2} v_{st}^{-1/2}$$

Чисельна оцінка цього рівняння дає бажане рівняння.

Динаміка таких інженерів, як я, як правило, стосується статики, може бути загрожує легкими помилками та непорозуміннями. Ця формула дуже корисна для просто підтримуваних балок, оскільки вона може бути швидко пов’язана з прикладеними вантажами до ваги та часткою живого навантаження (як правило, 10%), не виникаючи ускладнень.

Також консолі можуть використовувати аналогічну константу (19,8 з udl, 15,8 з кінцевим навантаженням). Все це руйнується суцільними балками та рамами.

Я будую природну перевірку частоти з усіма конструкціями променів, щоб відстежувати це. Для деревних конструкцій, наприклад, ціль становить 8 Гц, а для бетонних підлог / сталевих каркасів 4-6 Гц - як перший прохід.

Існують також грубі та готові методи оцінки динамічних відповідей. Маю сказати, що динаміка все ще уникає і бентежить мене і завжди буде! Тому я залишаюся максимально простим.