Який хороший метод (рівняння) для локального уточнення 1D сітки на кожному кінці?

У мене є сітка, яку я планую дискретизувати в 1D. Він поширюється від 0 до L за допомогою N вузлів, і мені потрібно вдосконалити його на кожному кінці. Я планую мати щось таке:

Я спробував вказати ці два параметри:

1. темп зростання (r)
2. початковий інтервал між вузлами (dx1)

Тоді х балів обчислюються у такій серії, як:

x (i) = dx1 * r ^ x (i-1)

Це добре працює, якщо я знаю N, і вказати r і dx1. Але в ідеалі мені потрібно, щоб r і dx1 були функціями N, щоб правильно масштабувати сітку, коли N збільшується. Тобто з N = 10, r має бути приблизно 1,7, але коли N = 100, r має бути приблизно 1,1, щоб мати однакову "форму". Аналогічна проблема з dx1. Хтось знає, як зробити ці два параметри функції N, які будуть масштабуватися з ним?

Я припускаю, що ваше рівняння використовується лише для визначення інтервалу від кінця до середини, після чого ви його дзеркально відображаєте.

Замість dx1 запишіть L / N, де L - загальна довжина. Тепер у вас є

x (i) = (L / N) * r ^ x (i-1)

... і коли ви зміните N, ваші x (i) s також будуть масштабуватися. Я не думаю, що ти хочеш, щоб r була функцією N.

Дайте мені знати, якщо це допомагає!

Оскільки 1D, ймовірно, не буде занадто обчислювально інтенсивним навіть для дуже великих наборів, ви можете просто підсумувати всі довжини для заданого N, а потім розділити всі відстані в цьому сітчастому масиві на це значення. Це не було б обчислювально ефективно, як явна функція, але зробить саме те, що потрібно, без зайвих експериментів. Якщо вам потрібна обчислювальна ефективність і ви не отримуєте тут жодних збоїв, можливо, вам захочеться переписатись у математику.