Згортка з лазерним потоком RTD

Маю ламінарний потік у трубці. Розглянемо трубку довжиною 0,2 м і середню швидкість 0,05 м / с. Аналітичним виразом для моєї передавальної функції є: $ E (t) = frac {a ^ 2} {2 * t ^ 3} $ для $ t $ & gt; $ E (t) = 0 $ для $ t & lt; frac {{}} {2} $. $ a $ - середній час перебування. В даному випадку: $ a $ = 0,2 м / 0,05 м / с = 4 с. Я хочу згорнути це з експоненціальним рівнянням: $ E_2 = (1-exp (frac {-t} {2.55})) $. Це рівняння описує намагніченість частинки в статичному магнітному полі.

Хочу отримати середню намагніченість частинок на виході з трубки. Тому я думав, що зробив би наступне: $ E_ {out} (t) = E (t) * E2 (t) $. Я б тоді взяв значення при t = 4s. У мене є результати з CFD, в яких наведено наступне: Результат CFD , червона лінія - це магнітне поле, а зелена лінія - $ E_ {out} (t) $. Я зацікавлений у величині x = 0,2m, яка становить 0.7942.

Мої результати згортки абсолютно різні: Результат згортки

Що я роблю неправильно? Я трохи заплутався. Хтось має уявлення про те, як підійти до цієї проблеми.

З повагою,

Gesetzt

Середня намагніченість, що виходить з трубки в стаціонарному стані, повинна бути лише продуктом, а не згорткою. $$ int_0 ^ інверсійний E (t) E2 (t) dt $$ $$ int _ {frac {ω} 2} ^ інверсія ліворуч (1-e ^ {- t frac {t} {k}} право) frac {a ^ 2} {2 t ^ 3} dt $$ $$ - frac {a ^ 2 Ei ліворуч (- frac {au} {2 k} праворуч)} {4 k ^ 2} - frac {au \ t {}} {2 k} + e ^ {- frac {a}} {2 k}} - 1 $$ Де $ Ei $ Експоненціальний інтеграл

Це виглядає трохи менше, ніж результати CFD:

Вісь x у цьому випадку є середнім часом перебування, який повинен бути пропорційний довжині вздовж трубки, що робить наші ділянки порівнянними.