Як можна обчислити зміну теплової енергії, коли питома теплоємність змінюється залежно від температури?

9

Багато матеріалів мають специфічне тепло, яке змінюється залежно від температури, тим більше, що зміна температури зростає. Як можна обчислити теплову енергію, яку отримує об’єкт у цьому випадку? Чи можемо ми просто використати питому теплоємність при початковій температурі або кінцевій температурі?

— Макс Нін
джерело

10

Аналогічно моїй відповіді про розрахунок сили важеля в безперервній ситуації ; вам потрібно використовувати інтеграцію.

Ви починаєте з прийняття стандартного закону про тепло, яке вам знайоме і замінюючи s диференціалами: Це нове рівняння звучить так: Для нескінченно малої (дуже крихітної) зміни температури я отримую нескінченно малу (дуже крихітну) зміну тепла. У межі нескінченнихмалень все лінійне, тому це просте лінійне рівняння все ще дотримується. Тепер ви просто підсумуйте всі нескінченно малі зміни теплового потоку за допомогою інтеграції Якщо ви насправді не хочете робити інтеграцію, це нормально. Matlab не матиме жодних проблем зробити це для вас, і Matlab підхід працює, навіть якщо у вас немає аналітичної функції для опису

Δ Q = c m Δ T

$\Delta Q=c\ m\ \Delta T$

Δ

$\Delta$

d Q = c (T) m d T .

$dQ=c(T)\ m\ dT.$

Δ Q = m \int_{T_{i}}^{T_{f}} c (T) d T .

$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}c(T)\ \ dT.$

c (T)

$c(T)$ (тобто у вас є лише дані). Якщо у вас немає доступу до Matlab, тоді використовуйте Python . Це безкоштовно, з відкритим кодом та неймовірно потужно.

— Кріс Мюллер
джерело

Не зрозумійте мене неправильно, я великий шанувальник Python, але GNU Octave, здається, краще вписується в роль вільної альтернативи MATLAB. З одного боку, він сумісний з .mat файлами.

— Повітря

@Air Це може бути правдою; Я ніколи не використовував Octave. Перехід на Python від Matlab не є складним, і це, я вважаю, більш розвинена мова, ніж Octave. Я також знаю, що чисельні процедури інтеграції Python (частина SciPy) є надійними, тому що я використовував їх неодноразово.

— Кріс Мюллер

6

Ні. У такій ситуації немає "простого" лінійного рішення; вам потрібно використовувати цілісне обчислення, щоб додати поглиблене тепло, поглинене при кожній температурі по дорозі. Єдиний раз, коли цей обчислення стає простим множенням, коли кількість, що інтегрується (питоме тепло), є постійною за діапазон інтеграції.

— Дейв Твід
джерело

5

Ні.

Як уже зазначалося, цього робити неважливо, але ось запропонований метод:

точно виміряйте певну кількість палива, потім спаліть паливо та використовуйте матеріал з дуже постійною або добре відомою іншою теплоємністю, щоб визначити, скільки енергії отримує ваш тестовий зразок за час, записуючи його температуру.
використовувати однакову кількість палива, в одному і тому ж апараті, з тестовим зразком однакових геометричних властивостей, але різним матеріалом, і повторити експеримент. Цього разу ви припускаєте енергію, яку отримує ваш тестовий зразок на основі кроку 1, і використовуєте записану температуру для визначення конкретної теплоємності матеріалу.
тепер, коли у вас є питома крива теплоємності для цього матеріалу, використовуйте його, як і будь-який інший матеріал, але інтегруйте свою криву через температурний проміжок, який ви вимірюєте, щоб визначити кількість поглиненої теплової енергії.

Цей метод не є ідеальним, він покладається на лінійну суперпозицію, яка не зовсім відповідає температурі, оскільки деякі фактори теплообміну мають нелінійну залежність, але це не поганий метод "калібрування" вашого матеріалу на базовому рівні.

— thepowerofnone
джерело

4

Я б спробував підігнати матеріал до моделі.
Модель Debye - це «стандарт». (Вибачте, що стаття у wiki трохи згори.) У моделі Debye матеріал може відповідати одній температурі "Debye".

Редагувати за запитом (хоча я б довіряв статті wiki над своєю відповіддю.) При високих температурах (але не занадто високі) матеріали мають теплоємність, рівну 3kT * N, де N - кількість атомів. (Тільки атоми, а не електрони розраховують на теплоємність, що цікаво ...) У міру зниження температури атоми перестають так сильно трястись, і деякі вібраційні режими «замерзають». Режими знаходяться на такій високій енергії, що для збудження їх не вистачає теплової енергії. Температура Debye - це орієнтовна міра того, де режими замерзають, а теплоємність починає знижуватися.

— Джордж Герольд
джерело

Чи можете ви додати трохи більше інформації, а не просто посилання?

— hazzey

3

$Cp=f(T)$

Δ Q = m \int_{T_{i}}^{T_{f}} C p (T) d T

$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}Cp(T)\ \ dT$

$Cp(T_i)$ $Cp(T_f)$

C p (T) = C p (T_{i}) + \frac{C p (T_{f}) - C p (T_{i})}{T_{f} - T_{i}} (T - T_{i})

$Cp(T)=Cp(T_i)+\frac{Cp(T_f)-Cp(T_i)}{T_f-T_i} (T-T_i)$

Δ Q = m \frac{C p (T_{f}) + C p (T_{i})}{2} (T_{f} - T_{i})

$\Delta Q=m\, \frac{Cp(T_f)+Cp(T_i)}2 \,(T_f-T_i)$

C p

$Cp$

— Клод Лейбовічі
джерело

c_{p}

$c_p$

δ T

$\delta T$

c_{p}

$c_p$

T

$T$

C p

$Cp$